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第一章矢函数1

1.矢代数复习1

2.直线和平面复习5

3.纯量变数的矢函数与曲线的参数表示7

4.矢函数的极限·连续性9

5.矢函数的微导·曲线的切线11

6.几种具有特殊性质的矢函数14

7.关于矢函数的泰乐公式16

8.矢函数的积分18

第二章曲线的基本三棱形20

1.切线和法面·寻常点20

2.密切面与副法线22

3.主法线和从切面·基本三棱形25

4.弧长26

5.自然参数·基本矢30

6.曲线间的切触阶33

7.曲线和平面间的切触阶35

结束语36

第三章空间曲线论的基本公式38

1.基本公式的推导38

2.曲率43

3.挠率45

4.曲线在一点邻近的结构48

5.基本公式在运动学里的意义52

6.密切圆55

7.密切球面57

8.微分几何的任务·有关曲线的不变量61

结束语67

第四章曲线论的基本定理69

1.平面曲线论的基本公式69

2.平面曲线的相对曲率71

3.平面曲线论的基本定理73

4.空间曲线论的基本定理78

5.空间曲线论的唯一存在定理80

6.一般柱面螺线84

7.贝特朗曲线88

结束语95

第五章可展曲面初论97

1.曲面的参数表示97

2.曲面的寻常点100

3.切面与法线102

4.直纹面与可展曲面104

5.可展曲面的分类108

6.曲线的法线所构成的可展曲面110

7.曲线的渐伸线与渐缩线113

7.1求一条曲线的渐伸线114

7.2求一条曲线的渐缩线115

8.可展曲面作为单参数平面族的包络面117

8.1特征线与包络面117

8.2特征点与脊线120

9.曲线的法面族123

10.曲线的从切面族124

结束语126

第六章曲面的第一基本齐式127

1.第一基本齐式·曲面上曲线弧长127

2.曲面上曲线的交角128

3.曲面的面积135

4.曲面的等距变换·曲面的内在性质138

5.可展曲面在平面上的贴合144

6.等角变换·等面变换147

结束语151

第七章曲面上曲线的曲率·一些重要的曲线153

1.第二基本齐式153

2.法曲率159

2.1曲面上曲线的曲率159

2.2法曲率160

2.3默尼埃定理161

3.平面和球面的特征162

4.主方向与主曲率165

5.曲率线169

6.关于三重正交曲面系的杜潘定理171

7.欧拉公式174

8.全曲率和中曲率·曲面在一点邻近形状的分析175

9.中曲率为零的点·小积曲面举例180

10.密切抛物面·杜潘标线183

11.曲率线的特征187

11.1罗德里克方程187

11.2曲率线的几何特征188

11.3约阿希姆施塔耳定理190

12.渐近曲线193

13.可展曲面作为全曲率恒等于零的曲面196

14.全曲率作为等距不变量·可展曲面作为可与平面贴合的曲面198

15.共轭方向和共轭曲线网202

16.曲面的球面表示·第三基本齐式205

结束语210

第八章曲面论的基本定理·曲面的内在几何212

1.曲面论的基本公式212

2.曲面论的基本方程215

3.曲面论的基本定理217

4.曲面论的唯一存在定理220

5.短程曲率223

5.1短程曲率的定义223

5.2短程曲率的一个几何意义224

5.3短程曲率公式225

5.4曲面上一条曲线在平面上的伸展226

6.短程线228

6.1有关短程线的一些最直接的结论·短程线举例228

6.2短程线的微分方程230

6.3短程平行坐标231

6.4短程线作为曲面上两点的最短联线233

7.短程挠率235

7.1定义和公式235

7.2曲面上曲线的一种动标三棱形238

8.具有常数全曲率的曲面239

9.具有常数全曲率的回转曲面243

10.伪球面与伪球率曲面在平面上的等角表示248

10.1伪球面在平面上的表示248

10.2伪球率曲面在平面上的表示249

10.3伪球率曲面上的短程线252

10.4伪球率曲面上的短程圆255

11.曲面上矢量的平移258

12.可展曲面的又一特征·全曲率的一项几何意义261

13.高斯-崩尼公式265

结束语270

附录Ⅰ单参数曲面族275

1.用方程F（x，y，z）=0表示的曲面275

2.单参数曲面族的包络面·特征线277

3.单参数曲面族的脊线·特征点280

附录Ⅱ复数的引进·从迷向矢到小积曲面283

1.迷向矢283

1.1三维复空间283

1.2迷向矢·迷向直线·迷向平面284

1.3迷向锥面285

1.4迷向矢与全等变换286

1.5迷向矢与垂直概念286

1.6迷向矢的参数表示288

2.迷向曲线290

3.曲面上的迷向曲线292

4.正方参数·等角变换297

5.小积曲面302

5.1实小积曲面的正方参数302

5.2实小积曲面的显式表示303

5.3小积曲面作为平移曲面306

5.4复小积曲面的显式表示308

5.5复小积曲面里嵌有实小积曲面的条件309

5.6连带小积曲面和伴随小积曲面312

附录Ⅲ张量记法在曲面论中的运用316

1.曲面论的基本公式316

1.1新记号的引进316

1.2高斯公式318

1.3魏因加尔吞公式320

2.曲面论的基本方程321

2.1基本方程的推导321

2.2迈因纳尔迪-科达齐方程322

2.3高斯方程322

3.曲面论的唯一存在定理325

4.短程曲率与短程线329

5.曲面上矢量的平移330

6.曲面上的矢量和张量331

附录Ⅳ变分法中的两个命题337

1.小积曲面的极小性质337

2.短程线的极小性质339

附录Ⅴ关于微分方程组的几个定理343

1.一阶线性齐次常微分方程组343

2.含一个参变数的一阶线性齐次常微分方程组346

3.一阶线性齐次偏微分方程组350

人名和译名索引355

内容索引356