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绪论1

第一章 初步知识与预备知识4

1 平面曲线4

1.曲线的确定法.简单曲线段4

序言7

2.奇异点8

3.渐近线11

4.曲线族的包络15

5.曲率18

6.密切圆20

2 空间曲线22

1.曲线的确定法.简单曲线段22

2.空间曲线的切线.法平面25

3 曲面27

1.曲面的确定法.简单曲面块27

2.曲面的切平面.曲面法线29

4 向量函数32

1.向量函数的微分法32

2.高阶导数.向量函数的戴劳定理35

3.向量函数的几个常用的性质36

5 微分几何的方法与内容38

1.运动不变量38

2.接触概念.两条平面曲线构成n阶接触的条件40

第一章复习提纲及总习题43

2.密切平面46

1.切线与法平面46

第二章 曲线论46

6 空间曲线的伴随三面形46

3.伴随三面形49

7 空间曲线的基本不变量50

1.弧长. 自然参数50

2.曲率55

3.挠率57

8 曲线论的基本公式与自然方程61

1.伏雷纳公式61

2.标准展开式.曲线在每个正常点邻近的结构62

3.基本定理与自然方程65

4.平面曲线的自然方程的积分法69

5.平面曲线的渐屈线与渐伸线72

1.一般螺旋线76

9 特殊类型的曲线76

2.贝尔脱朗曲线78

10 从运动学的观点研究曲线81

1.伴随三面形的运动81

2.曲率、挠率和伏雷纳公式的运动学定义83

3.采柴罗的不动条件85

11 可展曲面88

1 单参数曲面族的包络88

2 单参数平面族的包络91

3 空间曲线的渐伸线与渐屈线98

4 空间曲线的密切球面与密切圆101

第二章复习提纲及总习题105

12 曲面的参数表示.切平面与曲面法线109

1.曲面的参数表示109

第三章 曲面论109

2.曲面的坐标曲线111

3.曲面上的曲线112

4.曲线坐标的变换.曲面的正侧114

5.曲面的奇异点116

13 第一基本形式.曲面的内在性质117

1.曲面的线素.第一基本形式117

2.两条曲面曲线的交角123

3.曲面的面积125

4.曲面的变形.曲面的内在性质128

5.保角映射131

14 第二基本形式.曲面的外在性质137

1.第二基本形式137

2.曲面曲线的曲率140

3.杜班标形.欧拉公式143

4.主曲率与主方向的确定147

5.平均曲率与总曲率148

6.曲面在每个点邻近的结构149

7.球面表示152

8.曲率线156

9.第三基本形式158

10.渐近曲线161

11.共轭曲线162

12.三重正交曲面族168

15 曲面论的基本公式与基本方程174

1.曲面论的基本公式174

2.高斯方程及彼得松-柯达齐方程178

3.曲面论的基本定理182

16 曲面的内在几何188

1.曲面曲线的测地曲率188

2.测地线192

3.测地坐标196

4.短程线201

5.高斯-波恩涅公式205

6.常曲率的曲面209

7.伪球面上的罗巴契夫斯基几何211

第三章复习提纲及总习题217

第四章 补充知识222

17 卵形线222

18 测地映射227

1.曲面上的向量及其平行移动230

19 勒维-其维塔的平行移动230

2.平行移动的性质233

3.向量沿封闭道路的平行移动235

20 测地挠率239

1.测地线的挠率239

2.曲面曲线的测地挠率241

3.曲面曲线的三面形243

21 直纹曲面246

22 极小曲面252

23 张量分析260

1.坐标变换.和式的记号260

2.张量的定义及其代数运算262

3.张量记号266

4.协变微分法271

5.曲面论的基本定理的证明273