《高等几何讲义》求取 ⇩

目录1

第一编　几何学原理1

第一章　几何学的公理方法概述1

§1 几何学的发展与公理方法1

1.1　几何学的起源2

1.2　我国古代几何学的成就4

1.3　欧几里得《几何原本》6

1.4　欧几里得第五公设问题9

1.5　非欧几何的发现11

1.6　近代公里法的形成12

§2 公理法的构造和原理13

习题16

第二章　几何学中的逻辑原则和方法17

§1 概念与定义18

1.1　概念18

1.2　定义19

习题二21

§2 判断与数学命题21

2.1　判断21

2.2　数学命题22

习题三28

§3 推理与证明28

3.1　推理28

3.2　证明31

§4 演绎证法与归纳证法32

4.1 演绎证法32

4.2　归纳证法——枚举法、数学归纳法34

§5 分析证法与综合证法38

5.1　分析证法与综合证法38

5.2　解作图题中的分析42

§6 直接证法与间接证法43

6.1　反证法44

6.2　同一法45

§7　全面使用符号式进行逻辑论证的问题47

7.1　初等几何中常用的符号和意义47

7.2　普通语句与符号句（符号式）51

7.3　用符号式进行逻辑证明52

§8　逻辑思维的基本规律55

8.1 同一律55

8.2　矛盾律56

8.3　排中律56

8.4　充足理由律56

习题四57

第三章　用公理法建立几何学结构的例子61

§1 绝对平面几何学结构61

1.1　结合公理及其推论61

1.2　顺序公理及其推论62

1.3　运动公理及其推论67

1.4　连续公理及其推论74

1.5　几个重要定理82

习题五84

§2 欧几里得平面几何学结构84

2.1　欧几里得平行公理及其推论85

2.2　与平行公理V等价的命题91

习题六92

§3 罗巴切夫斯基平面几何学结构93

3.1　罗巴切夫斯基公理的一些直接推论93

3.2　罗氏平面上直线的相互位置94

3.3　罗氏平面上的基本曲线103

习题七107

§4 几何公理系统的基本问题107

4.1　公理系统的无矛盾性107

4.2　公理系统中各公理的独立性110

4.3　公理系统的完备性111

结语112

1.1　点变换116

§1 几何学的群论原则116

第四章　欧氏几何和仿射几何116

第二编　变换群与几何学116

1.2　变换群121

1.3　几何学的群论原则124

习题八125

§2 正交变换（运动）群及其所属的欧氏几何126

2.1　正交变换的概念和性质126

2.2　正交变换的坐标表示与分解127

2.3　正交变换群的几何——欧氏几何130

2.4　利用正交变换解作图题131

习题九132

§3 相似变换群及其所属的相似几何133

3.1　位似变换133

3.2　相似变换的定义与简单性质135

3.3　相似变换的分解与坐标表示138

3.4　相似变换群的几何——相似几何140

3.5　相似变换的应用141

习题十144

§4 仿射变换群及其所属的仿射几何144

4.1　仿射变换的定义及简单性质144

4.2　仿射坐标系145

4.3　仿射变换的坐标表示148

4.4　透视仿射变换150

4.5　仿射变换的子群151

4.6　仿射变换的分解152

4.7　仿射变换群的几何——仿射几何155

4.8　仿射变换的简单应用157

习题十一161

第五章　射影变换群和它的几何——射影几何学163

§1 射影平面的结构，齐次坐标163

1.1　从欧氏平面扩充成射影平面163

1.2　齐次点坐标168

1.3　直线坐标（线坐标）173

1.4　复射影平面176

1.5　射影平面上的对偶原则178

习题十二183

§2 点列及线束的交比和调和比185

2.1 同一直线上四点的交比和调和比185

2.2　线束里四直线的交比和调和比190

2.3　完全四点形与完全四线形的调和性194

习题十三196

§3 平面上的射影变换197

3.1　一维基本形间的射影对应和透视对应197

3.2　一维射影变换和射影坐标205

3.3　平面上的射影变换209

3.4　平面上点的射影坐标211

习题十四218

§4 射影变换群的几何——射影几何及其子几何219

4.1　射影变换群及其所属的射影几何学219

4.2　射影变换群及其重要的子群223

4.3　射影几何及其子几何间的比较225

4.4 习题十五227

第六章　二次曲线的一般理论228

§1 二次曲线的射影性质228

1.1　二次曲线的射影性质229

1.2　巴斯加与布利安桑定理234

1.3　二次曲线的极点与极线，配极对应240

1.4　二阶曲线与二级曲线的马克劳林（Maclaurin）定理246

1.5　二次曲线的射影分类247

习题十六250

§2 二次曲线的仿射性质253

2.1　二次曲线的中心、直径、渐近线253

2.2　二次曲线的仿射分类257

习题十七260

§3 二次曲线的度量性质260

3.1 圆点与迷向直线261

3.2　主轴、焦点和准线264

习题十八269