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目录1

第一章　欧氏平面的拓广1

§1　中心射影法1

1.1　什么是射影几何学1

1.2　中心射影法2

§2　理想点和理想直线3

习题一7

第二章　平面射影几何的基本概念（上）8

§1　射影平面8

1.1 引言8

1.2　射影平面的定义13

§2　平面图形 平面对偶原理16

2.1　点列和线束（一维基本图形）16

2.2　点场和线场（二维基本图形）21

2.3　平面对偶原理21

2.4　笛沙格定理23

§3　射影坐标25

3.1　点列上（或线束里）的射影坐标系25

3.2　平面射影坐标系29

3.3　坐标变换31

（1）直线上的坐标变换公式31

（2）平面坐标变换公式34

§4　射影变换45

4.1　映射45

4.2　变换群47

4.3　直线ξ到ξ′上的射影变换51

4.4　平面ω到ω′的射影变换57

§5 交比59

5.1　交比的定义60

5.2　交比的性质64

5.3　交比的几种特殊情况67

（1）调和共轭点对与调和共轭直线对70

5.4　用交比解释的几个概念70

（2）简化的射影性定义72

（3）分隔和区间73

（4）平面上点的射影坐标的意义77

§6　初等几何中的应用77

本章小结81

习题二81

第三章　平面射影几何的基本概念（下）90

§1　透视90

§2　完全四点形的调和性质97

§3　直线（线束）到它自身的射影变换99

§4　对合103

§5　第二笛沙格定理110

§6　直射116

6.1　二平面之间保持结合关系的一一映射116

6.2　平面ω到它自身的直射变换的二重元素119

6.3　透射132

＊6.4　合射140

§7　初等几何中的应用145

本章小结152

习题三154

第四章　配极变换和圆锥曲线160

§1　对射变换和配极变换160

1.1　对射变换160

1.2　配极变换164

1.3　共轭点和共轭直线165

1.4　自共轭点和自共轭直线167

§2　配极共轭元素的对合171

2.1　配极变换在点列和线束中的诱导对合171

2.2　自极三点形配极变换的标准形174

2.3　配极变换的类型176

§3　点圆锥曲线和线圆锥曲线182

3.1　圆锥曲线的定义182

3.2　圆锥曲线与直线的关系183

3.3　圆锥曲线方程的另一个简化形式187

§4　斯丹纳定理和巴斯加定理189

§5　圆锥曲线的直射变换196

5.1　把一个圆锥曲线映射为第二个圆锥曲线的197

直射变换197

5.2　把圆锥曲线映射为它自身的直射变换199

5.3　圆锥曲线到它自身的射影变换201

5.4　圆锥曲线上的射影变换与直线上的射影变换205

＊5.5　圆锥曲线上的对合210

＊§6　圆锥曲线束214

6.1　退化的圆锥曲线和奇异点214

6.2　圆锥曲线束217

6.3　推广的巴斯加定理219

§7　初等几何中的应用220

7.1　关于圆的极点和极线220

7.2　关于巴斯加定理222

本章小结223

习题四225

第五章　仿射几何230

§1　仿射几何的内容仿射群230

1.1　仿射平面和仿射变换230

1.2　仿射变换公式的推导231

1.3　仿射比234

1.4　仿射中心235

§2　圆锥曲线的仿射理论236

2.1　圆锥曲线的仿射分类236

2.2　圆锥曲线的中心和直径238

2.3　圆锥曲线的仿射方程241

＊§3　仿射么模群　面积243

本章小结247

习题五248

1.1　绝对形　垂直线的射影定义250

§1　相似变换250

第六章　欧几里得几何学250

1.2　相似变换253

§2　正交变换257

2.1　直角坐标系257

2.2　正交变换的定义258

2.3　正交变换下的不变量259

＊§3　虚元素的引进虚圆点263

3.1　虚元素的引进263

3.2　虚圆点264

3.3　迷向直线拉盖尔公式265

3.4　例题267

3.5　圆锥曲线的轴、焦点和准线269

§4　欧氏几何与射影、仿射几何的比较271

习题六274

＊第七章　平面射影几何基础276

§1　公理法简介276

§2　平面射影几何的公理体系282

2.1　结合公理283

2.2　顺序公理286

2.3　连续公理289

2.4　平面对偶原理289

§3　公理体系的三个基本问题290

3.1　无矛盾性290

3.2　完备性291

3.3　独立性291

＊第八章　非欧几何概要293

§1 自同构群293

§2　双曲运动群295

2.1　关于圆锥曲线C的自同构的性质295

2.2　双曲几何里的不变量298

2.3　罗巴切夫斯基几何的射影模型301

§3　椭圆运动群302

附录　关于（2.5.22）的证明304