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第一章 变换群与几何学1

1 变换与变换群1

1.1 映射与变换1

1.2 映射的乘积与逆4

1.3 变换的不动元素与不动子集5

1.4 变换群6

习题7

2.1 仿射坐标和仿射坐标变换8

2 仿射坐标和仿射平面8

2.2 在仿射平面上的几个常用结论11

2.3 仿射平面A2的定义13

习题14

3 仿射变换15

3.1 透视仿射变换15

3.2 仿射变换的定义与基本性质17

3.3 仿射变换的表达式和例子18

3.4 关于仿射变换的几个重要定理21

习题23

4.1 欧氏平面E2的定义24

4 欧氏平面和保距变换24

4.2 保距变换的定义和表达式25

4.3 保距变换的直观实现27

4.4 保距变换的性质28

习题29

5 几何学与变换群的关系30

5.1 欧氏几何与欧氏群30

5.2 克莱因观点介绍31

5.3 仿射群与仿射几何32

习题33

1.1 中心射影的直观讨论34

第二章 射影平面34

1 扩大仿射平面34

1.2 点的齐次仿射坐标37

1.3 直线的齐次仿射坐标方程38

习题41

2 射影平面42

2.1 射影平面和它的性质42

2.2 射影平面P2的定义和它的类型44

2.3 射影坐标和射影坐标变换45

2.4 直线与点列 一维射影坐标50

2.5 德萨格定理53

习题56

3 交比与调和共轭57

3.1 在扩大欧氏平面上的直观讨论57

3.2 交比的定义和计算59

3.3 交比与射影坐标的关系64

3.4 交比的分组65

3.5 调和共轭67

3.6 完全四点形的调和性质69

习题71

4.1 点坐标与线坐标73

4 对偶原理73

4.2 对偶原理75

4.3 几种重要的对偶图形和命题79

习题83

第三章 射影变换86

1 一维射影变换86

1.1 透视对应86

1.2 一维基本形之间的射影对应89

1.3 射影对应与透视的关系92

1.4 一维射影变换95

1.5 对合97

习题100

2 直射变换102

2.1 直射变换的定义和表达式102

2.2 射影群和基本射影性质104

2.3 关于直射的基本定理107

2.4 直射变换的不动元素112

2.5 同调与直移114

习题115

3.1 对射变换117

3 对射变换与配极117

3.2 配极变换118

3.3 共轭元素与配极原则120

3.4 配极的分类与自极三点形123

3.5 配极诱导的对合127

习题131

第四章 二次曲线的射影理论134

1 配极变换与二次曲线134

1.1 二阶曲线与二级曲线134

1.2 极点与极线 二次曲线136

1.3 二次曲线方程的简化形式141

习题143

2 一维射影对应与二次曲线144

2.1 二次曲线的射影定义145

2.2 帕斯卡定理与布利安香定理152

习题156

3 二次曲线上的射影变换157

3.1 二阶曲线上的射影变换157

3.2 二阶曲线上的对合160

习题162

4.1 退化二次曲线和奇异点163

4 二次曲线的射影分类163

4.2 二次曲线的射影分类165

习题171

第五章 射影几何的子几何172

1 无穷远直线与仿射几何172

1.1 扩大仿射平面和仿射变换172

1.2 仿射性质173

1.3 二次曲线的仿射理论175

习题186

2.1 虚元素 复射影平面187

2 圆环点与欧氏几何187

2.2 绝对对合与直角坐标189

2.3 保距变换与欧氏度量190

2.4 二次曲线的度量性质196

习题201

3 实二次曲线与双曲几何202

3.1 自同构群与射影测度202

3.2 第五公设与罗巴切夫斯基几何的产生205

3.3 实二次曲线与双曲运动群207

3.4 双曲度量209

3.5 罗巴切夫斯基几何的克莱因模型213

习题217

4 射影几何的其他子几何218

4.1 虚二次曲线和椭圆几何218

4.2 伽利略几何简介221

4.3 闵科夫斯基几何简介222

习题223

第六章 几何基础介绍224

1 公理法简介224

1.1 公理法的产生224

1.2 公理法的结构226

1.3 公理系统的和谐性、独立性和完备性227

2 欧氏平面几何的公理系统228

2.1 绝对几何229

2.2 欧氏几何与非欧几何235

习题238

3 平面射影几何的公理系统239

3.1 平面射影几何的一个公理系统239

3.2 平面射影几何公理系统的算术模型243

4 有限几何介绍249

习题249

4.1 有限域GF(q)与有限射影平面PG(2，q)250

4.2 有限射影平面PG(2，2)介绍251

4.3 有限仿射平面AG(2，2)介绍252

5 射影几何的历史概述253

5.1 射影几何的萌芽时期253

5.2 射影几何创立初期254

5.3 射影几何的形成和繁荣时期254

5.4 射影几何在中国257

1 高等几何对中学几何的一般指导意义259

1.1 几何学的对象和分类259

第七章 高等几何与中学几何259

1.2 对坐标系的认识260

1.3 关于直线形261

1.4 关于二次曲线理论262

1.5 综合法与解析法264

讨论题265

2 中学几何命题的发现265

2.1 从已知射影命题设计出初等命题265

2.2 变换已知命题，得出新命题268

3.1 仿射变换的应用274

3 用高等几何方法证明中学几何题274

习题274

3.2 射影变换的应用277

3.3 关于点线结合例题的证明280

习题281

4 直尺作图281

4.1 利用完全四点形的调和性质作图282

4.2 有关不可到达的点和直线的作图283

4.3 有关二次曲线的作图285

习题288

参考书目289