《微分几何讲义》求取 ⇩

初版序1

第一章 矢函数1

1.矢代数复习1

再版说明3

2.直线和平面复习5

第四版说明6

3.纯量变数的矢函数与曲线的参数表示7

4.矢函数的极限·连续性9

5.矢函数的微导·曲线的切线11

6.几种具有特殊性质的矢函数14

7.关于矢函数的泰乐公式16

8.矢函数的积分18

第二章 曲线的基本三棱形20

1.切线和法面·寻常点20

2.密切面与副法线22

3.主法线和从切面·基本三棱形25

4.弧长26

5.自然参数·.基本矢30

6.曲线间的切触阶33

7.曲线和平面间的切触阶34

结束语36

第三章 空间曲线论的基本公式38

1.基本公式的推导38

2.曲率43

3.挠率45

4.曲线在一点邻近的结构48

8.微分几何的任务·有关曲线的不变量61

结束语66

第四章 曲线论的基本定理68

1.平面曲线论的基本公式68

2.平面曲线的相对曲率70

3.平面曲线论的基本定理72

4.空间曲线论的基本定理77

5.空间曲线论的唯一存在定理78

6.一般柱面螺线83

7.贝特朗曲线87

结束语94

第五章 可展曲面初论96

1.曲面的参数表示96

2.曲面的寻常点99

3.切面与法线101

4.直纹面与可展曲面102

5.可展曲面的分类106

6.曲线的法线所构成的可展曲面109

7.曲线的渐伸线与渐缩线112

7.1.求一条曲线的渐伸线112

7.2.求一条曲线的渐缩线113

10 曲线的从切面族122

结束语124

第六章 曲面的第一基本齐式126

1.第一基本齐式·曲面上曲线弧长126

2.曲面上曲线的交角127

3.曲面的面积134

4.曲面的等距映射·曲面的内在性质137

5.可展曲面在平面上的贴合143

6.等角映射·等面映射145

结束语150

第七章 曲面上曲线的曲率·一些重要的曲线152

1.第二基本齐式152

2.法曲率158

2.1.曲面上曲线的曲率158

2.2. 法曲率159

2.3.默尼埃定理160

3.平面和球面的特征161

4.主方向与主曲率164

5.曲率线168

6.关于三重正交曲面系的杜潘定理170

7.欧拉公式172

8.全曲率和中曲率·曲面在一点邻近形状的分析174

9.中曲率为零的点·小积曲面举例179

10.密切抛物面·杜潘标线181

11.1.罗德里克方程186

11.曲率线的特征186

11.2.曲率线的几何特征187

11.3.约阿希姆施塔耳定理189

12.渐近曲线191

13.可展曲面作为全曲率恒等于零的曲面195

14.全曲率作为等距不变量·可展曲面作为可与平面贴合的曲面197

15.共轭方向和共轭曲线网200

16.曲面的球面表示·第三基本齐式203

结束语208

第八章 曲面论的基本定理·曲面的内在几何211

1.曲面论的基本公式211

2.曲面论的基本方程214

3.曲面论的基本定理216

4.曲面论的唯一存在定理219

5.短程曲率222

5.1.短程曲率的定义222

5.2.短程曲率的一个几何意义223

5.3.短程曲率公式224

5.4.曲面上一条曲线在平面上的伸展225

6.短程线227

6.1.有关短程线的一些最直接的结论·短程线举例227

6.2.短程线的微分方程229

6.3.短程平行坐标230

6.4.短程线作为曲面上两点的最短联线231

7.短程挠率233

7.1.定义和公式233

7.2.曲面上曲线的一种动标三棱形236

8.具有常数全曲率的曲面238

9.具有常数全曲率的回转曲面242

10.伪球面与伪球率曲面在平面上的等角表示246

10.1 伪球面在平面上的表示246

10.2 伪球率曲面在平面上的表示248

10.3.伪球率曲面上的短程线250

13.高斯-崩尼公式263

结束语270

第九章 关于图形的整体性质275

1.平面曲线275

1.1.平面闭曲线的相对总曲率275

1.2.闭凸线281

1.3.四顶定理283

1.4.卵形线285

1.5.常宽曲线288

1.6.等周不等式289

1.7.平面上和一条曲线相交直线的测度293

2.空间曲线297

2.1.球面上和一条曲线相交大圆的测度297

2.2.关于闭曲线的总曲率299

2.3.关于有结曲线的总曲率303

2.4.关于闭曲线的总挠率305

2.5.关于闭曲线的主法线球面象307

3.曲面310

3.1.关于卵形面311

3.2.希耳伯尔特引理313

3.3.球面的若干特征314

结束语316

附录Ⅰ单参数曲面族317

1.用方程F(x,y,z)=0表示的曲面317

2.单参数曲面族的包络面·特征线319

3.单参数曲面族的脊线·特征点322

附录Ⅱ 复数的引进·从迷向矢到小积曲面325

1.迷向矢325

1.1.三维复空间325

1.2.迷向矢·迷向直线·迷向平面326

1.3.迷向锥面327

1.4.迷向矢与全等变换328

1.5.迷向矢与垂直概念328

1.6.迷向矢的参数表示330

2.迷向曲线332

3.曲面上的迷向曲线334

4.正方参数·等角映射339

5.小积曲面343

5.1.实小积曲面的正方参数343

5.2.实小积曲面的显式表示345

5.3.小积曲面作为平移曲面348

5.4.复小积曲面的显式表示349

5.5.复小积曲面里嵌有实小积曲面的条件351

5.6.连带小积曲面和伴随小积曲面353

附录Ⅲ 张量记法在曲面论中的运用358

1.曲面论的基本公式358

1.1.新记号的引进358

1.2.高斯公式360

1.3.魏因加尔吞公式362

2.曲面论的基本方程362

2.1.基本方程的推导362

2.3.高斯方程364

2.2.迈因纳尔迪-科达齐方程364

3.曲面论的唯一存在定理367

4.短程曲率与短程线371

5.曲面上矢量的平移372

2.短程线的极小性质381

附录Ⅴ 关于微分方程组的几个定理385

1.一阶线性齐次常微分方程组385

2.含一个参变数的一阶线性齐次常微分方程组388

3.一阶线性齐次偏微分方程组391

人名译名索引397

内容索引398