《高等数学 上》

第一章　函数1

1.1　函数的概念1

1.1.1　常量与变量1

1.1.2　函数的概念2

1.2　函数的简单性态6

1.3　复合函数与反函数、初等函数10

习题1-115

第二章　极限20

2.1　极限问题的提出20

2.2　数列极限的定义22

2.3　函数极限的定义28

2.3.1 自变量无限增大时函数的极限28

2.3.2　自变量趋近于有限值时函数的极限29

2.3.3　函数的单边极限32

习题2-134

2.4　函数（含整标函数）极限的性质36

2.5　无穷小量与无穷大量39

2.5.1　无穷小量39

2.5.2　无穷大量41

2.5.3　无穷大与无穷小的关系43

2.6　函数（含整标函数）极限的运算44

2.6.1　无穷小量的运算44

2.6.2　极限的四则运算46

2.7　极限存在的准则Ⅰ、一个重要极限50

2.7.1　极限存在的准则Ⅰ50

2.7.2　极限？52

2.8　极限存在的准则Ⅱ及另一个重要极限54

2.8.1 实数集的上确界与下确界55

2.8.2 极限存在的准则Ⅱ57

2.8.3　极限？59

2.9　无穷小的比较62

2.10　函数的极限与数列的极限的关系65

习题2-267

第三章　函数的连续性71

3.1 函数连续性的定义71

3.2 间断点的类型75

3.3　连续函数的运算与性质78

3.4 闭区间上连续函数的性质83

3.4.1 区间套定理83

3.4.2　有界性定理84

3.4.3　最值定理86

3.4.4　介值定理86

3.4.5　一致连续性88

习题3-194

第四章　导数与微分97

4.1　导数的定义97

4.1.1　问题的提出97

4.1.2　导数101

习题4-1106

4.2　导数的计算109

4.2.1　求导数举例（几个基本公式）109

4.2.2　函数的和、差、积、商的导数及反函数的导数112

4.2.3　复合函数的微分法及其应用114

习题4-2125

4.3　高阶导数130

习题4-3137

4.4　微分138

4.4.1　微分的概念138

4.4.2　微分的计算141

4.4.3　微分在近似计算中的应用143

习题4-4147

第五章　微分学的基本定理及其应用149

5.1　微分学的基本定理149

5.1.1　洛尔定理149

5.1.2　拉格朗日定理151

5.1.3　柯西定理154

5.1.4　泰勒定理156

习题5-1163

5.2　洛必达法则166

5.2.1　？型待定式167

5.2.2　？型待定式170

5.2.3　其他型待定式（0·∞,∞-∞,00,1∞,∞0）172

习题5-2175

5.3　导数的应用176

5.3.1　函数的增减性176

5.3.2　函数的极值179

5.3.3　函数的最大值和最小值184

习题5-3191

5.3.4　函数图形的凸性194

5.3.5　函数图象的描绘197

5.3.6　平面曲线的曲率204

5.3.7　方程的近似解214

习题5-4216

第六章　不定积分219

6.1　不定积分的概念与性质219

6.1.1　不定积分的概念219

6.1.2　基本积分表222

6.1.3　不定积分的运算法则222

习题6-1224

6.2　基本积分方法225

6.2.1　凑微分法225

6.2.2　换元法230

习题6-2235

6.2.3　分部积分法237

习题6-3243

6.3　有理函数的积分245

6.3.1　有理函数的积分245

6.3.2　三角函数有理式的积分253

6.3.3　？的积分255

6.3.4　？型的积分256

习题6-4257

6.4　不能用初等函数表示的积分259

第七章　定积分262

7.1　定积分概念262

7.1.1　曲边梯形的面积262

7.1.2　定积分的定义（一）267

习题7-1270

7.2　可积的充要条件271

7.3　定积分的定义（二）274

7.4　定积分的基本性质279

习题7-2287

7.5　定积分的计算288

7.5.1　微积分学基本定理289

7.5.2　定积分的换元法和分部积分法294

习题7-3301

7.6　定积分的近似计算308

7.6.1　梯形法308

7.6.2　抛物线法309

习题7-4312

7.7　广义积分313

7.7.1　积分区间为无限的广义积分313

7.7.2　无界函数的广义积分316

习题7-5320

7.8　定积分的应用321

7.8.1　平面图形的面积323

7.8.2　平行截面已知的立体体积330

7.8.3　平面曲线的弧长335

7.8.4　旋转曲面的面积337

习题7-6339

7.8.5　功342

7.8.6　重心344

7.8.7　流体静压力349

习题7-735

习题答案354

习题提示379