《计算方法》

目 录1

第一章数值计算中的误差1

§1引言1

§2误差的种类及其来源4

2.1模型误差4

2.2观测误差5

2.8截断误差5

2.4舍入误差6

§3绝对误差和相对误差7

3.1绝对误差和绝对误差限7

3.2相对误差和相对误差限8

§4有效数字及其与误差的关系10

4.1有效数字10

4.2有效数字与误差的关系12

5.1误差估计的一般公式14

§5误差的传播与估计14

5.2误差在算术运算中的传播18

5.3对§1算例的误差分析21

§6算法的数值稳定性23

小结29

习题一30

§1引言33

1.1插值问题的提法33

第二章插值法33

1.2插值多项式的存在唯一性35

§2拉格朗日插值多项式35

2.1插值基函数36

2.2拉格朗日插值多项式36

2.3插值余项41

2.4插值误差的事后估计法43

§3牛顿插值多项式44

3.1向前差分与牛顿向前插值公式45

3.2向后差分与牛顿向后插值公式49

3.3差商与牛顿基本插值多项式51

§4分段低次插值55

§5三次样条插值58

5.1三次样条插值函数的定义59

5.2边界条件问题的提出与类型59

5.3三次样条插值函数的求法60

§6数值微分69

6.1利用插值多项式求导数的原理与常用公式70

6.2利用三次样条插值函数求导数的原理与公式72

小结74

习题二74

第三章曲线拟合的最小二乘法77

§1引言77

§2什么是最小二乘法78

§3最小二乘解的求法79

§4加权最小二乘法90

§5利用正交函数作最小二乘拟合*93

5.1利用正交函数作最小二乘拟合的原理93

5.2利用正交多项式作多项式拟合94

小结96

习题三97

第四章数值积分98

§1引言98

1.1讨论数值求积的必要性98

1.2构造数值求积公式的基本方法98

1.3求积公式的余项99

1.4求积公式的代数精度100

§2牛顿－柯特斯公式102

2.1牛顿－柯特斯公式102

2.2复合牛顿－柯特斯公式106

2.3误差的事后估计与步长的自动选择112

2.4复合梯形法的递推算式114

3.1龙贝格算法的基本原理118

§3龙贝格算法118

3.2龙贝格算法计算公式的简化122

§4高斯型求积公式*124

4.1高斯型求积公式的定义124

4.2高斯型求积公式的构造与应用125

小结130

习题四131

第五章非线性方程的数值解法133

§1引言133

§2二分法136

§3迭代法141

§4牛顿－雷扶生方法151

4.1牛顿法公式及误差分析151

4.2牛顿法的局部收敛性154

4.3牛顿法例子及框图157

§5正割法162

§6迭代法的收敛阶和Aitken加速方法164

小结167

习题五168

第六章解方程组的数值方法170

§1引言170

§2高斯消去法170

§3选主元素的高斯消去法177

3.1完全主元素消去法179

3.2列主元素消去法181

§4矩阵的三角分解184

§5解三对角线方程组的追赶法188

§6解对称正定矩阵方程组的平方根法191

§7向量和矩阵的范数196

§8解线性方程组的迭代法200

8.1雅可比迭代法203

8.2高斯－塞德尔迭代法204

8.3解线性方程组的超松弛迭代法206

8.4迭代法的收敛性211

§9解非线性方程组的迭代法*217

9.1解非线性方程组的迭代法218

9.2解非线性方程组的牛顿法……………………………22？§10病态方程组和迭代改善法224

10.1病态方程组224

10.2迭代改善法229

小结231

习题六233

§1引言235

第七章常微分方程的数值解法235

§2欧拉方法237

2.1欧拉格式237

2.2改进的欧拉格式244

§3龙格－库塔方法247

3.1龙格－库塔公式的导出247

3.2高阶龙格－库塔格式250

3.3步长的自动选择255

4.1线性多步方法257

§4阿达姆斯方法257

4.2 显式和隐式阿达姆斯格式258

4.3阿达姆斯预测－校正方法265

4.4阿达姆斯预测－校正方法的改进268

§5算法的稳定性及收敛性270

5.1稳定性270

5.2收敛性275

§6方程组及高阶方程的数值解法277

6.1一阶方程组277

6.2高阶方程279

§7边值问题的数值解法282

7.1差分方程组的建立283

7.2差分方程组的求解285

小结286

习题七287

参考文献289