《高等数学 下》

第十三章 重积分1

13.1 二重积分概念1

一、曲顶柱体的体积1

二、非均匀薄片的质量2

三、二重积分定义3

四、二重积分的几何意义4

五、二重积分的基本性质5

习题13.16

13.2 二重积分在直角坐标系下的计算法7

习题13.214

13.3 二重积分在极坐标系下的计算法17

习题13.322

13.4 三重积分及其计算法24

一、三重积分概念24

二、三重积分在直角坐标系下的计算法25

习题13.430

13.5 三重积分在柱坐标系及球坐标系下的计算法31

一、三重积分在柱坐标系下的计算法31

二、三重积分在球坐标系下的计算法34

习题13.538

13.6 重积分的应用39

一、曲面面积39

二、重心42

三、转动惯量45

习题13.646

综合例题48

综合习题54

自我检查题54

综合习题解答55

自我检查题解答57

第十四章 曲线积分与曲面积分59

14.1 对弧长的曲线积分59

一、问题的提出59

二、对弧长的曲线积分定义60

三、对弧长曲线积分的性质61

四、对弧长曲线积分的计算法61

五、对弧长曲线积分的应用64

习题14.165

14.2 对坐标的曲线积分66

一、有向曲线的概念66

二、变力沿曲线所作的功66

三、对坐标曲线积分的定义67

四、对坐标曲线积分的性质69

五、对坐标的曲线积分的计算法69

六、两类曲线积分之间的联系73

习题14.274

14.3 格林公式及其应用76

一、格林公式76

二、格林公式的简单应用78

三、曲线积分与路径无关的条件80

习题14.386

14.4 对面积的曲面积分88

一、问题的提出88

二、对面积的曲面积分定义88

三、对面积曲面积分的计算法89

习题14.492

14.5 对坐标的曲面积分93

一、有向曲面的概念93

二、流量问题94

三、对坐标的曲面积分定义96

四、对坐标曲面积分的计算98

五、两类曲面积分之间的联系101

习题14.5102

14.6 方向导数与梯度102

一、预备知识102

二、方向导数105

三、数量场的梯度106

习题14.6109

14.7 奥—高公式 通量与散度109

一、奥—高公式109

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件111

三、通量与散度113

习题14.7117

14.8 斯托克斯公式 环流量与旋度118

一、斯托克斯公式118

二、空间曲线积分与路径无关的条件120

三、环流量与旋度122

习题14.8125

综合例题126

综合习题134

自我检查题135

综合习题解答135

自我检查题解答138

第十五章 微分方程141

15.1 基本概念141

一、几个实例141

二、基本概念143

习题15.1146

15.2 可分离变量的一阶微分方程147

习题15.2153

15.3 齐次方程154

一、齐次方程154

二、可化为齐次方程的方程156

习题15.3158

15.4 一阶线性方程159

一、一阶线性方程159

二、可化为一阶线性方程的方程163

习题15.4164

15.5 全微分方程165

一、全微分方程165

二、积分因子166

习题15.5169

15.6 可降阶的高阶微分方程170

一、y″=f（x）型的方程170

二、y″=f（x,y′）型微分方程172

三、y″=f（y,y′）型微分方程174

习题15.6176

15.7 齐次线性方程解的结构 n阶常系数齐次线性方程的解法177

一、n阶齐次线性微分方程解的结构177

二、n阶常系数齐次线性微分方程的解法181

习题15.7185

15.8 非齐次线性方程解的结构 二阶常系数非齐次线性方程的解法186

一、n阶非齐次线性方程解的结构186

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法188

三、常数变易法196

习题15.8198

15.9 线性方程的应用举例199

习题15.9204

15.10 欧拉方程205

习题15.10207

15.11 微分方程组208

一、化微分方程组为高阶微分方程208

二、首次积分法210

习题15.11212

综合例题213

综合习题220

自我检查题221

综合习题解答222

自我检查题解答229

第十六章 无穷级数236

16.1 数项级数的概念236

一、数项级数的概念236

二、级数的基本性质240

习题16.1245

16.2 正项级数的敛散性判定法246

一、正项级数收敛的充要条件246

二、比较判定法247

三、比值法（达朗贝尔判定法）251

四、根值法（柯西判定法）253

五、柯西积分判定法254

习题16.2255

16.3 任意项级数 绝对收敛256

一、交错级数敛散性判定法256

二、绝对收敛与条件收敛258

习题16.3264

16.4 广义积分的敛散性 Γ函数265

一、积分区间为无穷区间的广义积分（无穷限广义积分）敛散性判别法265

二、无界函数的广义积分敛散性269

三、Γ—函数271

习题16.4274

16.5 函数项级数275

一、函数项级数的一般概念275

二、函数项级数的一致收敛性277

三、一致收敛级数的基本性质281

习题16.5284

16.6 幂级数285

一、幂级数的收敛半径285

二、幂级数运算290

习题16.6292

16.7 函数的幂级数展式293

一、泰勒级数293

二、函数展开成幂级数的方法296

习题16.7303

16.8 函数幂级数展开式的应用304

一、近似计算304

二、欧拉公式307

三、微分方程的幂级数解法举例309

习题16.8312

综合例题313

综合习题321

自我检查题321

综合习题解答322

自我检查题解答325

第十七章 富里哀级数332

17.1 函数在区间［-π,π］上的富里哀级数332

一、三角级数、三角函数系的正交性332

二、富里哀系数公式、富里哀级数333

习题17.1339

17.2 正弦级数与余弦级数339

一、奇函数与偶函数的富里哀级数339

二、正弦级数与余弦级数341

习题17.2344

17.3 任意区间上的富里哀级数345

习题17.3349

综合例题349

综合习题354

自我检查题354

综合习题解答355

自我检查题解答358

习题答案361