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第一篇函数与极限1

第一章 函数1

第一节 函数概念及其表示法1

1.1 常量与变量1

1.2 函数的定义3

1.3 函数的记号5

1.4 函数表示法函数的图形6

1.5 函数的定义域区间单调数列9

1.6 反函数及其图形12

1.7 复合函数（函数的函数）的定义14

1.8 函数的增减性、奇偶性及周期性16

第二节 基本初等函数18

1.9 基本初等函数与初等函数18

1.10 幂函数20

1.11 指数函数与对数函数22

1.12 三角函数与反三角函数23

1.13 双曲函数与反双曲函数23

1.14 函数式子的建立32

2.1 绝对值的重要性质35

第一节 预备知识35

第二章 极限35

2.2 描述量的变化状态的术语38

2.3 两种不同类型的极限42

第二节 极限及其运算法则44

2.4 数列的极限44

2.5 函数的极限50

2.6 函数的左极限与右极限55

2.7 无穷小与无穷大58

2.8 无穷小的运算有界变量61

2.9 极限的四则运算64

2.10 不等式取极限的准则及其应用举例（limx→0sinx/x）66

2.11 数列的审敛准则及其应用举例［limn∞(1+1/n)n］68

2.12 无穷小的比与阶72

2.13 相当无穷小与无穷小的主部74

第三节 函数的连续性76

2.14 函数连续的概念76

2.15 增量与连续性检查法77

2.16 函数的间断点81

2.17 连续函数在闭区间的特性84

2.18 连续函数的反函数87

2.19 连续函数的运算与初等函数的连续性88

第二篇一元函数微分学91

第三章 导数及其应用91

第一节 导数的定义与△求法91

3.1 函数的变化率问题与导数定义91

3.2 导数的△求法96

3.3 导数的几何意义及其应用98

3.4 导数在物理及化学方面的意义100

3.5 可导性与连续性的关系102

3.6 引言求导公式表105

第二节 求导的基本公式105

3.7 代数式的求导公式106

3.8 代数函数求导举例111

3.9 三角函数的求导公式116

3.10 反三角函数及反函数的求导公式119

3.11 对数函数的求导公式对数求导法及其应用124

3.12 指数函数的求导公式128

3.13 双曲函数的求导公式130

3.14 隐函数及其求导法131

第三节 中值定理与函数性态研究132

3.15 充要条件133

3.16 洛尔定理134

3.17 拉格朗日定理136

3.18 函数增减性的判定法139

3.19 函数的极值及其求法141

3.20 函数在区间上的最大值与最小值146

3.21 高阶导数148

3.22 极值的第二判定法153

3.23 函数图形的凹向与拐点154

3.24 柯西定理158

3.25 未定式求极限法则（罗彼塔法则）159

3.26 函数作图166

第四章 微分及其应用171

第一节 微分概念171

4.1 微分的定义171

4.2 微分与导数的关系求微分公式175

4.3 微分的几何解释179

4.4 微分形式的不变性179

4.5 高阶微分及其与导数记号的关系181

第二节 微分在近似计算上的应用182

4.6近似计算概念的简单介绍182

4.7用微分求近似值187

4.8利用微分估计误差189

第三节 微分的几何应用194

4.9 参量方程的曲线的斜率及凹向194

4.10 弧长的微分196

4.11 曲率的定义197

4.12 计算曲率的公式198

4.13 曲率圆曲率半径曲率中心201

第五章 台劳公式与方程近似解法203

第一节 台劳公式203

5.1多项式的台劳公式204

5.2任何函数的台劳公式205

5.3函数值的近似计算与误差估计208

第二节 方程的近似解210

5.4 实根判定法211

5.5 求近似解的弦位法及切线法214

5.6 举例219

第三篇一元函数积分学223

第六章 不定积分223

第一节 不定积分的定义及求法223

6.1 原函数的概念223

6.2 不定积分的定义及性质基本积分表225

6.3 积分形式不变性229

6.4 积分的基本方法232

第二节 积分常量243

6.5 由初始条件决定积分常量微分方程243

6.6 在几何问题中的积分常量245

6.7 在物理问题中的积分常量246

第三节 初等函数积分法讨论248

6.8 引言248

6.9 有理函数的积分249

6.10 三角函数有理式的积分257

6.11 无理函数的积分259

6.12 积分表的用法264

第七章 定积分及其应用266

第一节 定积分的概念与基本性质266

7.1 由于求面积而引起求和的极限266

7.2 求和的极限法不限于求面积271

7.3 定积分的定义及存在定理274

7.4 定积分的几何意义277

7.5 定积分的简单性质278

7.6 定积分与不定积分的关系283

7.7 换元法则与奇偶函数的积分公式287

第二节 定积分计算法则287

7.8 分部积分法则291

第三节 定积分的应用292

7.9 如何列写定积分的积分式293

7.10 元素相加法与微分方程法296

7.11 杜阿迈定理300

7.12 平面图形的面积300

7.13 平面曲线的弧长309

7.14 利用平行截面积计算体积法312

7.15 连续函数在区间上的平均值314

7.16 曲线重心与古尔琴第一定理317

7.17 曲边梯形重心与古尔琴第二定理321

7.18 液体的静压力324

7.19 从容器中抽出液体所做的功326

第四节 近似积分法328

7.20 数值积分法328

7.21 图解积分法335

第一节 一般概念337

8.1 什么是微分方程337

第八章 微分方程的产生与一般概念337

第四篇常微分方程337

8.2 微分方程的解与阶通解初始条件特解340

第二节 微分方程的产生344

8.3 由已知函数产生微分方程345

8.4 由于求未知函数而产生微分方程347

第九章 微分方程的解法362

第一节 一阶与可降阶的高阶方程362

9.1 变量可分离的方程362

9.2 齐次方程364

9.3 全微分方程积分因子366

9.4 线性方程与伯努利方程369

9.5 轨线问题373

9.6 可降阶的高阶方程377

第二节 高阶线性微分方程384

9.7 齐次方程385

9.8 非齐次方程396

9.9 求特积分的待定系数法398

9.10 参量变值法415

9.11 尤拉方程419

9.12 机械振动与电磁振荡的微分方程420

9.13 自有振动的研究426

9.14 受迫振动的研究共振因子428