《高等数学 上》

前言页1

第一章 函数的极限与连续1

第一节 函数1

一、常量与变量1

二、集合与映射1

三、函数的概念2

四、函数的表示法4

五、函数的几种特性5

六、初等函数6

七、建立函数关系的实例8

习题1-19

第二节 微积分的两个基本问题和我国古代学者的极限思想10

一、微积分的两个基本问题11

二、我国古代学者的极限思想13

第三节 函数的极限14

一、数列的极限14

二、x→∞时函数的极限15

三、x→x0时函数的极限16

四、极限的性质18

习题1-319

一、无穷小20

第四节 无穷小与无穷大20

二、无穷大21

习题1-422

第五节 极限的运算法则23

习题1-526

第六节 函数的连续性及其应用27

一、函数的连续性27

二、连续函数的运算29

三、初等函数的连续性31

四、函数的间断点32

五、闭区间上连续函数的性质34

习题1-635

第七节 两个重要极限36

一、极限？=136

二、极限？x=e38

习题1-740

第八节 无穷小的比较41

习题1-842

第二章 导数与微分44

第一节 导数的概念44

一、几个实例44

二、导数的定义45

三、导数的几何意义47

四、可导与连续的关系49

习题2-149

第二节 导数公式与函数的和差积商的导数50

一、常数和基本初等函数的导数公式51

二、函数的和差积商的导数51

习题2-254

第三节 反函数和复合函数的导数54

一、反函数的导数54

二、复合函数的导数55

习题2-358

第四节 隐函数和参数式函数的导数59

一、隐函数的导数59

二、参数式函数的导数61

三、相关变化率62

习题2-464

第五节 高阶导数65

习题2-567

第六节 微分及其应用67

一、微分的概念68

二、常数和基本初等函数的微分公式与微分的运算法则70

三、微分的应用72

习题2-675

第三章 微分中值定理和导数的应用77

第一节 拉格朗日定理和函数的单调性77

一、罗尔定理77

二、拉格朗日定理78

三、函数的单调性80

习题3-183

第二节 函数的极值与最值84

一、函数的极值84

二、函数的最值87

习题3-289

第三节 曲线的凹向、拐点与函数的分析作图法91

一、曲线的凹向与拐点91

二、曲线的渐近线93

三、函数的分析作图法94

习题3-396

第四节 曲线弧的微分 曲率96

一、曲线弧的微分97

二、曲率98

一、柯西定理102

第五节 柯西定理与洛必达法则102

习题3-4102

二、洛必达法则103

习题3-5105

第六节 导数在经济上的应用举例106

一、经济学中几个常见的函数106

二、边际与边际分析106

三、弹性与弹性分析108

习题3-6110

一、几个实例112

第一节 定积分的概念与性质112

第四章 定积分与不定积分112

二、定积分定义114

三、定积分的几何意义115

四、定积分的性质116

习题4-1118

第二节 原函数与不定积分119

一、函数的原函数与不定积分119

二、基本积分公式120

三、不定积分的性质121

习题4-2122

一、积分上限函数及其性质123

第三节 微积分基本公式123

二、微积分基本公式124

习题4-3126

第四节 积分的换元法127

一、不定积分的换元法127

二、定积分的换元法134

习题4-4140

第五节 积分的分部积分法141

一、不定积分的分部积分法141

二、定积分的分部积分法145

习题4-5147

第六节 积分举例和积分表的使用148

一、积分举例148

二、积分表和使用152

习题4-6154

第七节 反常积分155

一、无穷区间上的反常积分155

二、无界函数的反常积分157

习题4-7160

第五章 定积分的应用161

第一节 定积分的微元法161

一、平面图形的面积162

第二节 定积分在几何上的应用162

二、体积166

三、平面曲线的弧长169

习题5-2171

第三节 定积分在物理上的应用172

一、变力沿直线段作功172

二、液体的压力174

三、引力175

四、均匀落片的质心176

习题5-3178

第四节 函数的平均值及其应用179

习题5-4182

第六章 常微分方程184

第一节 微分方程的基本概念184

一、实例184

二、有关概念185

习题6-1187

第二节 一阶微分方程187

一、可分离变量的一阶微分方程188

二、一阶线性微分方程191

习题6-2194

第三节 一阶微分方程的应用举例195

习题6-3200

第四节 可降阶的高阶微分方程201

一、y(n)=f(x)型的微分方程201

二、y =f(x,y )型的微分方程201

三、y =f(y,y )型的微分方程202

习题6-4204

第五节 二阶线性微分方程的结构204

一、二阶线性齐次微分方程解的结构204

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构205

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法207

习题6-5207

第六节 二阶常系数线性微分方程207

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法210

习题6-6215

第七节 二阶微分方程的应用举例215

习题6-7219

附录Ⅰ 几种常用的曲线(a〉0)220

附录Ⅱ 积分表221

习题答案227

参考书目242