《数学弹性力学》

第一章数学和弹性理论基础知识1

§1 复变函数概要1

1-1 复变函数的定义1

1-2 区域和边界2

1-3 解析函数的概念4

1-4 保角变换6

1-5 复变函数积分的概念8

1-6 解析函数的积分9

1-7 柯西积分公式11

1-8 已知某函数在边界上的实部求此函数14

1-9 H？lder条件（H条件）15

1-10 积分主值16

1-11 Plemelj公式17

1-12 半平面情况19

1-13 解析函数的幂级数表示22

1-14 留数及其应用24

§2 积分方程和积分变换概要29

1-15 平方可积函数29

1-16 用逐次逼近法解积分方程31

1-17 以有限线性方程组代替积分方程34

1-18 有退化核的积分方程35

1-19 积分方程组36

1-20 拉普拉斯和黎曼－梅林积分变换39

1-21 积分变换的某些特殊性质41

§3 弹性力学的基本方程43

1-22 物体43

1-23 外力44

1-24 内应力及一点的应力状况的分析46

1-25 应变及一点的应变状况的分析52

1-26 协调方程式58

1-27 广义胡克定律61

1-28 各向同性材料的弹性模量66

1-29 用工程弹性常数表示的广义胡克定律68

1-30 弹性理论的基本方程和解的可能方法70

1-31 圣维南原理75

第二章平面问题77

§1 单连通区与多连通区情况77

2-1 艾雷（Airy）函数77

2-2 利用全纯函数表示应力函数80

2-3 利用应力函数求φ（z）和x（z）82

2-4 由应力分量求位移分量84

2-5 由艾雷函数求主力矢量87

2-6 应力函数的不同表示法88

2-7 由应力分量求应力函数90

2-8 多连通区的应力函数91

§2 平面弹性力学的基本问题102

2-9 用实数形式表明平面问题的解的唯一性102

2-10 以复数形式表示第一个基本问题的解106

2-11 有限区域内弹性力学第二个基本问题113

2-12 弹性力学第二基本问题解的唯一性的证明115

2-13 无限区域的概念及其分类120

2-14 无限区域中弹性力学第一个基本问题124

2-15 弹性力学第一个基本问题解的唯一性的充分条件125

2-16 第三类无限区域中的φ（z）及ψ（z）函数形式126

2-17 第一类无限区域中的应力函数131

2-18 在半平面中的应力函数137

2-19 第三类无限区域的弹性力学第二个基本问题138

2-20 第一类和第二类无限区域的弹性力学第二个基本问题139

2-21 无限区域弹性力学第二个基本问题解的唯一性140

2-22 有体积力时的情况143

第三章平面问题的解145

3-1 穆斯海里什维里积分方程145

3-2 劳瑞西拉—谢尔曼方程152

3-3 圆域中弹性力学第一个基本问题的解162

3-4 圆域中弹性力学第二个基本问题的解175

3-5 半无限平面弹性力学第一个及第二个基本问题的解179

3-6 带状无限板187

3-7 多连通区的劳瑞西拉—谢尔曼方程及其解196

3-8 多连通区弹性力学第二个基本问题的解208

3-9 弹性力学第一个基本问题的解与边界条件的关系210

3-10 弹性力学第一个基本问题应力函数的近似计算212

3-11 第一个基本问题的一种近似解法214

3-12 多连通区弹性力学第一个（或第二个）基本问题的解221

3-13 利用求极值的方法近似解圆环的第二个基本问题223

3-14 多连通区的联立积分方程组的解235

3-15 逐次逼近法258

第四章 保角变换的应用271

4-1 解析函数所构成的变换271

4-2 任意区域的保角变换的数值解274

4-3 基本方程及其解279

4-4 保角变换的函数为有理函数时积分方程的解289

4-5 同心圆环区域的级数解法304

4-6 非同心圆环区域问题322

4-7 多连通区的近似解（非圆形）336

4-8 尖劈问题的一般解348

4-9 尖劈边界有力和力矩作用353

4-10 尖壑区域360

4-11 用保角变换解无限长带状板问题366

第五章 解析延拓的应用（联结问题）371

5-1 黎曼—施瓦茨对称原理371

5-2 对于实轴的解析延拓373

5-3 对于圆弧的解析延拓377

5-4 以实轴为界的半平面情况379

5-5 以圆弧为边界的情况382

5-6 曲线边界387

第六章 复变函数在空间问题中的应用393

§1 二维与三维应力状态的关系393

6-1 圆柱坐标系的基本方程393

6-2 有限实体二维与三维状态的关系395

6-3 空腔尺寸有限的弹性空间、弹性层和弹性半空间二维状态和三维状态之间的关系401

6-4 材料横向各向同性，纵向v=v(z′),E=E(z′)时的情况406

§2 利用复变数解析函数解轴对称问题413

6-5 无空腔有限单连通旋转体的位移和应力的表达式413

6-6 有内空腔的有限和无限单连通体的应力和位移419

6-7 有球形空腔的弹性空间和球体的对称问题的解425

6-8 积分法求解球体的对称问题429

6-9 球体和球形空腔上有集中（沿圆周均布）负荷作用的情况435

6-10 弹性空间中的球面裂缝442

6-11 用环积分表示位移和应力454

§2 旋转体的非轴对称问题459

6-12 用解析函数表示旋转体非轴对称负荷的应力与位移459

6-13 半空间弹性力学的第一个和第二个基本问题469

参考文献479