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第一章 消元法和行列式1

1 消元法1

1.1 线性方程组和消元法的基本思想1

1.2 消元法4

2 n阶行列式的定义21

2.1 排列及其逆序数21

2.2 n阶行列式的定义24

3 n阶行列式的性质29

3.1 n阶行列式的基本性质29

3.2 按一行(列)展开34

3.3 行列式的计算37

4 克莱姆规则49

4.1 克莱姆规则49

4.2 齐次情形55

第二章 线性方程组理论60

5 n元向量60

5.1 导引60

5.2 n元向量及其运算62

6 n元向量的线性相关性66

6.1 线性组合66

6.2 线性相关69

6.3 线性组合与线性相关的关系72

6.4 极大无关组与秩74

7 矩阵的秩80

7.1 矩阵的秩及其与矩阵的子行列式的关系80

7.2 用初等变换求矩阵的秩84

8 线性方程组的解90

8.1 解的判定90

8.2 三元一次方程组的解96

9 线性方程组解的结构101

9.1 基础解系102

9.2 非齐次线性方程组解的结构105

第三章 矩阵109

10 矩阵的运算109

10.1 矩阵的线性运算109

10.2 矩阵的乘法110

10.3 可逆矩阵116

10.4 矩阵的转置与运算120

11 初等矩阵124

11.1 初等矩阵124

11.2 初等矩阵与可逆矩阵127

11.3 矩阵的等价130

12 矩阵的分决136

12.1 分块的运算136

12.2 用分块矩阵讨论线性方程组143

第四章 二次型149

13 化二次型为平方和150

13.1 用配方法化二次型为平方和150

13.2 通过矩阵和初等变换化二次型为平方和152

13.3 对称矩阵的合同162

14 复二次型和实二次型164

14.1 复二次型164

14.2 实二次型165

15 正定二次型170

15.1 正定二次型的定义170

15.2 正定二次型的判定171

第五章 基本概念179

16 集与映射180

16.1 集的概念和运算180

16.2 映射183

17 运算189

17.1 运算的定义189

17.2 结合律和交换律191

17.3 单位元和逆元194

17.4 映射的合成197

18 关系和等价关系203

18.1 关系203

18.2 等价关系206

第六章 环与域211

19 环211

19.1 环的定义和例211

19.2 环的简单性质216

19.3 单位元与逆元219

19.4 子环220

20 几种特殊的环225

20.1 整环226

20.2 除环229

20.3 域231

21 商环和理想238

21.1 商环238

21.2 理想244

22 环的同构与同态247

22.1 环的同构247

22.2 环的同态253

22.3 环的同态基本定理257

23 素理想与极大理想261

23.1 素理想261

23.2 极大理想263

24 分式域266

24.1 挖补定理266

24.2 分式域270

25 有序环与有序域276

25.1 有序集276

25.2 有序环与有序域279

第七章 数系287

26 自然数系287

26.1 自然数的基本性质287

26.2 自然数的序.数学归纳法291

27 整数环295

27.1 整数环的存在和唯一性295

27.2 整数环的序299

28 有理数域和复数域303

28.1 有理数域304

28.2 复数域305

29 皮亚诺公理310

29.1 自然数的皮亚诺公理311

29.2 自然数集的唯一性314

第八章 多项式环和因子分解319

30 环R上的一元多项式环319

30.1 一元多项式环的基本概念319

30.2 带余除法322

30.3 多项式的值和多项式的根325

31 域上一元多项式环的整除性及因子分解331

31.1 整除的概念和基本性质331

31.2 因式分解333

31.3 因式分解定理的作用338

31.4 辗转相除法343

32 重因式351

32.1 重因式351

32.2 重根353

33 几个常见域上一元多项式的因式分解355

33.1 复数域和实数域上一元多项式的因式分解355

33.2 有限域上一元多项式的因式分解358

34 整环的整除性及因子分解359

34.1 整除的概念和基本性质360

34.2 唯一分解整环362

34.3 欧氏整环和主理想整环364

35 整环上一元多项式环的整除性及因式分解369

35.1 I[x]与F[x]在整除性上异同369

35.2 唯一分解整环上的一元多项式环371

35.3 有理数域上一元多项式的因式分解376

36 多元多项式环381

36.1 多元多项式的基本概念和基本性质381

36.2 对称多项式385

第九章 群391

37 交换群的定义和性质391

37.1 定义和简单性质391

37.2 子群395

37.3 加群的商群397

37.4 加群的同构和同态399

38 循环群403

38.1 循环群的定义和例403

38.2 循环群的子群与商群405

39 有限加群407

39.1 和与直和407

39.2 有限加群的结构411

40 加群的自同态环419

40.1 加群的自同态环419

40.2 循环群的自同态环422

41 群的定义和性质424

41.1 定义和简单性质424

41.2 子群428

42 变换群430

42.1 交换群430

42.2 置换群434

43 商群和正规子群443

43.1 商群443

43.2 正规子群448

第十章 向量空间与线性变换457

44 向量空间457

44.1 向量空间的定义和基本性质457

44.2 基变换与坐标变换464

44.3 向量空间的同构469

45 向量空间的子空间474

45.1 定义及判别474

45.2 和与直和477

45.3 商空间483

46 线性变换486

46.1 线性变换的定义和性质486

46.2 线性变换代数489

46.3 线性变换与矩阵492

47 矩阵的相似标准形505

47.1 矩阵的相似505

47.2 不变子空间508

47.3 特征根与特征向量511

47.4 具有对角形矩阵的线性变换516

47.5 若当标准形523

第十一章 欧氏空间与正交变换533

48 欧氏空间的基本概念533

48.1 欧氏空间的定义与基本性质533

48.2 向量的长度、夹角与距离536

48.3 欧氏空间的内积与正定矩阵538

49 标准正交基542

49.1 正交化方法542

49.2 欧氏空间的同构544

49.3 正交矩阵545

50 子空间的正交直和547

50.1 正交子空间547

50.2 最小二乘问题550

51 正交变换553

51.1 正交变换的定义与性质554

51.2 正交矩阵的标准形557

52 对称变换564

52.1 对称变换的定义与性质564

52.2 实对称矩阵的相似合同标准形565

52.3 主轴问题571

53 U空间与内积空间576

53.1 U空间576

53.2 内积空间579