《常微分方程组与运动稳定性理论》

绪论1

第一章 微分方程组3

1 常微分方程组的一般理论3

一、微分方程组的一般概念3

二、记号与定义6

三、解的存在唯一性定理9

四、解的延拓15

五、解对初值的连续依赖性16

六、解对初值的可微性17

2 微分议程组的初等积分法17

一、用化为一个高阶方程的方法积分方程组(消元法)17

二、用选取积分组合的方法积分方程组24

3 线性微分方程组的基本理论28

一、线性微分方程组解的存在唯一性定理28

二、齐次线性微分方程组的基本定理30

三、非齐次线性微分方程组的基本定理36

4 高阶级性方程的基本定理40

一、n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组之间的关系41

二、关于解的基本定理42

5 常系数线性方程组47

一、矩阵指数eA(或expA)的定义和性质48

二、基解矩阵的计算公式51

三、利用约当(Jordan)标准型计算基解矩阵64

四、利用待定系数法计算基解矩阵66

五、常系数非齐次线性方程组的常数变易公式69

第一章 习题71

第二章 运动稳定性理论初步78

1 解的稳定性的定义78

一、稳定性问题的提出78

二、解的稳定性的定义80

2 相平面与奇点的分类82

一、相平面82

二、二维驻定线性方程组的奇点分类84

3 按一次近似判断定常系统稳定性的准则91

一、常系数线性齐次方程组的零解的稳定性91

二、按一次近似判断稳定性的准则92

4 李雅普诺夫的直接方法95

一、李雅普诺夫直接方法的有关定理95

二、常系数线性系统的李雅普诺夫函数的构造105

三、E.A巴尔巴辛公式110

5 周期解和极限圈116

一、奇点与闭轨线116

二、Bendixson-Poincare环域构造定理119

三、范得坡(Van der pol)方程和李安纳特(Lienerd)方程123

第二章 习题125

第三章 边值问题132

1 常微分方程边值问题的概念132

2 边值问题的某些解法134

一、齐次方程与齐次边值条件135

二、齐次方程与非齐次边值条件136

三、非齐次方程与齐次边值条件137

四、非齐次方程与非齐次边值条件139

3 本征值和本征函数140

一、边值问题的本征值与本征函数141

二、自伴本征值问题143

第三章 习题147

附录Ⅰ 常微分方程的初等积分法149

附录Ⅱ 拉普拉斯变换158

习题答案168