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第七章 微分方程1

第一节 基本概念1

一、引例1

二、基本概念3

习题7-14

第二节 可分离变量方程与齐次方程5

一、可分离变量方程5

二、齐次方程8

三、可化为齐次方程的方程11

习题7-214

第三节 一阶线性方程与Bernoulli方程16

一、一阶线性方程16

二、Bernoulli方程19

习题7-321

第四节 可降阶的高阶方程22

一、y″=f(x)型22

二、y″=f(x、y′)型24

三、y″=f(y、y′)型26

习题7-426

第五节 高阶线性微分方程27

一、定义27

二、线性微分方程解的结构28

习题7-531

第六节 二阶常系数齐次线性方程32

一、形式32

二、解法32

三、n阶常系数齐次线性方程36

习题7-637

第七节 二阶常系数非齐次线性方程38

一、Q(x)=Pn(x)eax型39

二、Q(x)=Pn(x)eaxcosβx或Q(x)=Pn(x)eaxsinβx型42

三、常数变易法46

习题7-749

一、欧拉方程50

第八节 欧拉方程及常系数线性微分方程组50

二、常系数线性微分方程组解法举例52

习题7-854

第八章 多元函数微分学55

第一节 多元函数的极限与连续性55

一、二元函数的定义55

二、平面点集57

三、二元函数的极限与连续性58

习题8-162

第二节 偏导数与全微分63

一、偏导数63

二、全微分68

习题8-274

第三节 多元复合函数与隐函数的求导法76

一、多元复合函数的求导76

二、隐函数的求导82

习题8-385

一、方向导数88

第四节 方向导数与梯度88

二、梯度91

习题8-494

第五节 多元微分法在几何上的应用95

一、空间曲线的切线与法平面95

二、曲面的切平面与法线98

习题8-5102

第六节 多元函数的极值与最值103

一、多元函数的极值103

二、多元函数的最值105

三、条件极值107

习题8-6111

第七节 二元函数的Taylor公式112

一、二元函数的Taylor公式112

二、极值充分条件的证明115

习题8-7117

一、简单闭区域118

第九章 重积分118

第一节 二重积分的概念118

二、二重积分的概念及性质124

习题9-1127

第二节 二重积分的计算128

一、利用直角坐标计算二重积分129

二、利用极坐标计算二重积分132

三、二重积分的换元法136

习题9-2139

第三节 三重积分的概念与计算144

一、空间内的简单闭区域144

二、三重积分的概念146

三、利用直角坐标计算三重积分146

四、利用柱面坐标计算三重积分150

五、利用球面坐标计算三重积分151

习题9-3154

一、曲面的面积156

第四节 重积分的应用156

二、物体的重心159

三、转动惯量162

四、对质点的引力164

习题9-4166

第十章 曲线积分与曲面积分168

第一节 对弧长的曲线积分168

一、对弧长的曲线积分的概念168

二、对弧长的曲线积分的计算171

习题10-1174

第二节 对坐标的曲线积分176

一、对坐标的曲线积分的概念176

二、对坐标的曲线积分的计算178

习题10-2181

第三节 Green公式183

一、Green公式183

二、平面上曲线积分与路径无关的条件187

三、全微分方程191

习题10-3194

第四节 对面积的曲面积分198

一、对面积的曲面积分的概念198

二、对面积的曲面积分的计算法200

习题10-4203

第五节 对坐标的曲面积分204

一、对坐标的曲面积分的概念204

二、对坐标的曲面积分的计算206

习题10-5210

第六节 Gauss公式与Stokes公式211

一、Gauss公式211

二、Stokes公式214

三、场论初步219

习题10-6224

第十一章 级数228

一、概念与性质229

第一节 常数项级数229

二、正项级数的审敛法236

三、任意项级数243

习题11-1247

第二节 幂级数250

一、幂级数的基本概念251

二、幂级数的运算256

第三节 将函数展成幂级数258

习题11-2258

一、Taylor级数259

二、常用初等函数的展开式261

习题11-3267

第四节 Fourier级数268

一、三角函数正交系268

二、Fourier级数269

三、非周期函数的Fourier级数274

习题11-4282

部分习题答案284