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第一章 行列式1

§1 n阶行列式1

1．1 数域1

1．2 二阶、三阶行列式的结构2

1．3 n阶行列式5

§2 行列式的性质和计算9

2．1 行列的互换性质9

2．2 数乘行列式的性质11

2．3 行列式的加法性质12

2．4 行列式的计算举例14

§3 展开定理20

3．1 按行展开定理20

3．2 Laplace定理25

§4 Cramer定理29

4．1 Cramer定理29

4．2 应用例子31

1．1 n维向量及其线性计算34

§1 n维向量的线性关系34

第二章 线性方程组34

1．2 向量的线性相关与线性无关35

1．3 矩阵和矩阵的秩40

1．4 向量组线性相关、线性无关的判别定理43

1．5 最大线性无关向量组47

§2 矩阵的初等变换51

2．1 矩阵的行初等变换51

2．3 在初等变换下矩阵的标准形53

2．2 矩阵的初等变换53

§3 齐次线性方程组63

3．1 同解方程组的概念及其命题63

3．2 关于齐次线性方程组的命题66

3．3 解的结构定理70

§4 非齐次线性方程组77

4．1 有解的充要条件77

4．2 非齐次线性方程组的解79

4．3 解的结构定理82

1．1 矩阵的线性运算91

第三章 炬阵及其在初等变换下的标准形91

§1 矩阵的运算91

1．2 矩阵的乘法93

1．3 行列式的乘法规则96

1．4 矩阵的运算与矩阵的秩98

§2 逆矩阵102

2．1 逆矩阵及其求法103

2．2 逆矩阵的基本性质106

2．3 用初等变换求逆矩阵的方法108

3．1 分块矩阵的概念114

§3 分块矩阵114

3．2 分块矩阵的乘法116

3．3 分块初等矩阵118

3．4 分块矩阵法的应用举例119

§4 几种特殊的矩阵123

4．1 对角形矩阵和三角形矩阵123

4．2 对称矩阵和反对称矩阵127

4．3 正交矩阵129

5．1 标准形132

§5 在初等变换下矩阵的标准形132

5．2 标准形的用法133

第四章 对称矩阵在合同变换下的标准形与二次型136

§1 实对称矩阵在合同变换下的标准形136

1．1 例子136

1．2 矩阵间的合同关系及其性质139

1．3 对称矩阵在合同变换下的标准形139

1．4 求合同变换矩阵P的方法143

1．5 惯性定律与实对称矩阵在合同变换下的标准形145

§2 化二次型为平方和的方法153

2．1 二次型153

2．2 二次型的矩阵表示155

2．3 在满秩线性变换下化二次型为平方和156

2．4 用配方方法化二次型为平方和158

§3 实二次型的分类和判别162

3．1 惯性定律和二次型的标准形162

3．2 二次型的分类和判别164

3．3 (半)正定、(半)负定和不定矩阵171

第五章 方阵的相似标准形及其应用174

§1 矩阵的特征值与特征向量174

1．1 矩阵的特征值与特征向量174

1．2 特征值和特征向量的一些性质178

1．3 Schmidt正交化方法182

§2 在相似变换下化方阵为对角形矩阵的条件187

2．1 相似矩阵及其性质187

2．2 相似对角形矩阵的主对角元素和相似变换矩阵188

2．3 在相似变换下方阵化为对角形矩阵的条件189

§3 在相似变换下方阵的标准形202

3．1 实对称矩阵的标准形202

3．2 正交矩阵的标准形210

3．3 与方阵相似的上三角形矩阵215

§4 相似变换下方阵标准形的应用220

4．1 在解决综合性问题方面的应用220

4．2 在解常系数齐次线性方程组方面的应用223

1．1 λ-矩阵的概念232

§1 λ-矩阵及其在等价变换下的标准形232

第六章 矩阵的Jordan标准形232

1．2 矩阵的等价关系234

1．3 λ-矩阵的等价对角形矩阵235

1．4 行列式因子与λ-矩阵的标准形239

§2 λ-矩阵等价、方阵相似的充要条件243

2．1 λ-矩阵可逆、λ-矩阵等价的充要条件243

2．2 初等因子与λ-矩阵等价的充要条件244

2．3 初等因子的求法246

2．4 矩阵相似的充要条件252

§3 矩阵的Jordan标准形255

3．1 矩阵的Jordan标准形255

3．2 矩阵的有理标准形261

3．3 相似变换矩阵的求法264

§4 Hamilton-Cayley定理及其应用268

4．1 Hamilton-Cayley定理268

4．2 最小多项式及其求法270

4．3 矩阵与对角形矩阵相似的充要条件274

1．1 线性空间的概念276

§1 线性空间276

第七章 线性空间和线性变换276

1．2 线性空间的一些简单性质277

1．3 子空间的概念及其判别279

§2 有限维线性空间284

2．1 有限维线性空间的维数和基底284

2．2 子空间的基底和维数288

2．3 坐标和坐标变换290

2．4 线性空间中的同构关系294

3．1 线性变换及其基本性质298

§3 线性空间上的线性变换298

3．2 象子空间和核301

3．3 线性变换的运算304

§4 线性变换与矩阵的对应308

4．1 线性变换与矩阵的对应308

4．2 线性变换对应的矩阵随基底的变化314

4．3 线性变换的特征值与特征向量316

1．1 实内积空间的定义及其基本性质323

§1 实内积空间323

第八章 内积空间323

1．2 度量矩阵325

1．3 Cauchy-Schwartz不等式327

1．4 正交子空间328

§2 标准正交基底331

2．1 标准正交基底331

2．2 标准正交基下的度量关系332

3．1 正交变换335

§3 正交变换335

3．2 正交变换的判别和运算336

3．3 正交变换的几何意义339

§4 复内积空间342

4．1 复内积空间342

4．2 度量矩阵和厄密矩阵343

4．3 长度和角度344

4．4 标准正交基底344

4．5 酉交变换和酉交矩阵345

答案与提示346