《高等数学 上》

第一章函数的极限与连续1

第一节函数1

一、函数的定义1

二、函数的几种特性4

三、函数的运算与初等函数9

四、有关函数的基本问题12

附录 基本初等函数的图形22

习题1—123

第二节数列的极限26

一、数列极限概念及性质26

二、数列收敛的两个准则35

三、数 e 与双曲函数37

习题1—241

第三节函数极限与连续43

一、函数在 x0 处的极限与连续性43

二、函数极限的运算法则与连续函数的和、差、积、商的连续性47

三、反函数、复合函数的连续性与初等函数的连续性50

四、函数极限的其他情形，无穷小与无穷大及无穷小的比较54

五、函数的间断点类型，闭区间上连续函数的性质65

习题1—369

第二章导数与微分74

第一节函数的导数74

一、导数的概念及其意义74

二、初等函数微分法84

三、隐函数微分法91

习题2—197

第二节微分及其应用101

一、微分概念及其运算101

二、微分的应用105

习题2—2112

第三节高阶导数与导数的初步应用114

一、高阶导数的定义及计算114

二、二阶导数与曲率121

三、导数的初步应用132

习题2—3137

第三章中值定理与导数的应用142

第一节微分中值定理及其应用142

一、微分中值定理142

二、Lagrange 定理的应用149

三、Cauchy 定理的应用——L′Hospital 法则152

四、Taylor 公式及其应用157

习题3—1163

第二节导数在函数性态研究中的应用167

一、函数的单调性与极值168

二、最大值、最小值问题173

三、f′(x)的单调性与曲线 y=f(x)的凹凸性180

四、函数图形的描绘186

习题3—2190

第三节方程的近似解194

一、方程近似根的精度估计195

二、取中法196

三、Newton 法198

习题3—3201

第四章不定积分203

第一节不定积分的概念与性质203

一、不定积分的概念203

二、不定积分的性质205

三、积分基本公式206

习题4—1210

第二节不定积分的换元法211

一、第一换元法(凑微分法)211

二、第二换元法214

习题4—2221

第三节分部积分法222

习题4—3227

第四节几类函数的不定积分228

一、有理函数的不定积分229

二、两类可化为有理函数的积分232

习题4—4234

第五节积分表的使用235

习题4—5236

第五章定积分238

第一节定积分的概念与性质238

一、定积分的概念238

二、定积分的性质241

三、定积分的几何意义与函数的均值244

习题5—1245

第二节微积分基本定理246

一、变限函数246

二、N—L 公式249

习题5—2251

第三节定积分的换元法与分部积分法254

一、定积分换元积分法254

二、定积分的分部积分法257

习题5—3259

第四节广义积分260

一、无穷区间上的广义积分260

二、无界函数的广义积分265

三、Г函数简介269

习题5—4271

第六章定积分应用273

第一节 元素法273

第二节定积分的几何应用275

一、弧长275

二、平面图形的面积278

三、立体体积281

习题6—1、2284

第三节定积分的物理应用285

一、质量与垂心(平面)286

二、静液压力288

三、变力沿直线作功290

四、转动惯量291

五、引力292

习题6—3294

附录一积分表295

附录二本书中出现的学者的中文译名307

部分习题答案308

主要参考文献328