《数学物理方程 上》求取 ⇩

目 录上 册引言1

1．定解问题的引出2

1.1．热传导方程及其定解条件2

1.1.1．热传导方程的引出（2） 1.1.2．定解条件的提法（5）习题1.17

1.2．位势方程及其定解条件8

习题1.29

1.3．弦的微小横振动方程及其定解条件9

1.3.1．弦振动方程的引出（9）1.3.2．定解条件12

1.4．适定性概念15

习题1.315

1.4.1．基本定义（15）1.4.2．定解问题小结17

1.4.3．定解问题的适定性概念（18） 习题1.421

附录 数学物理的变分原理21

1.5．变分问题21

1.5.1．单重积分情形（21）1.5.2．多重积分情形26

1.5.3变分原理（29）习题1.531

1.6．波动方程和位势方程31

1.6.1．均匀弦的横振动（31） 1.6.2．均匀膜的横振动33

1.7．扩散方程和Schr？dinger方程36

1.6.3．膜的平衡方程（34） 习题1.636

1.7.1．扩散方程（36）1.7.2．Schr？dinger方程37

习题1.738

注释与文献38

2．波动方程40

2.1．有界弦的振动40

2.1.1．分离变量法（40）2.1.2．解的物理意义45

2.1.3．均匀弦的受迫振动（47）2.1.4．边值条件的齐次化48

2.1.5．控制消振问题（52）习题2.158

2.2．有界膜的振动58

2.2.1．矩形膜的横振动（58）2.2.2．圆膜的横振动61

习题2.264

2.3．波动方程的初值问题64

2.3.1．弦振动方程情形，行波法（64）2.3.2．依赖域，影响域和决定域（68）2.3.3．三维波动方程情形70

2.3.4．降维法（74）2.3.5．非齐次方程情形77

2.3.6．Huygens原理（82）习题2.384

2.4．能量积分，唯一性及稳定性定理86

2.4.1．能量积分（86）2.4.2．混合问题情形88

2.4.3．初值问题情形（93）习题2.497

附录98

2.5．Bessel函数98

2.5.1．Bessel方程及其解（98）2.5.2．递推公式101

2.5.3．Bessel函数的正交性（102）2.5.4．Bessel函数的零点分布（105）习题2.5107

注释与文献108

3．位势方程109

3.1．特殊区域的边值问题109

3.1.1．视察法（109）3.1.2．复变函数法（114） 习题3.1118

3.2．Green公式及其推论120

3.2.1．Green公式（120）3.2.2．极值原理122

3.2.3．第一边值问题的唯一性和稳定性（126） 习题3.2129

3.3．Green函数131

3.3.1．Green函数及其性质（131）3.3.2．静电源像法134

3.3.3．调和函数的基本性质（141） 习题3.3146

3.4．第二边值问题解的唯一性147

3.4.1．强极值原理（147）3.4.2．第二边值问题解的唯一性（150） 习题3.4152

注释与文献153

4．热传导方程154

4.1．分离变量法的进一步应用154

4.1.1．热传导方程的混合问题（154）4.1.2 Schr？dingcr方程（157）习题4.1160

4.2．初值问题161

4.2.1．Fourier变换及其性质（161） 4.2.2．初值问题的解及其验证（167）4.2.3．半导体材料中的扩散问题171

习题4.2175

4.3．定解问题解的唯一性和稳定性176

4.3.1．极值原理（176）4.3.2．初值问题情形180

习题4.3181

附录183

4.4．Fourier变换表183

注释与文献187

5．方程的分类和总结188

5.1．方程的化简和分类188

5.1.1．两个自变量的二阶方程的化简及分类188

5.1.2．多个自变量的二阶方程的分类（197）习题5.1201

5.2．特征概念202

5.2.1．特征方程（202）5.2.2．例（206） 习题5.2208

5.3．典型方程总结209

5.3.1．数学物理方程的特点（209）5.3.2．典型方程的共性（210）5.3.3．典型方程的个性（211）5.3.4．适定性问题讨论（213）习题5.3217

注释与文献218

附：下册目录218

6．广义函数6.1．广函及其运算 6.2．广函的结构6.3．广函的Fourier变换6.4．Соболев空间218

7．一般常系数方程7.1．基本解 7.2．基本解的存在性7.3．适定定解问题218

8．变系数方程8.1．椭圆方程 8.2．退化的二阶椭圆方程8.3．退化的二阶双曲方程218

9．非线性方程9.1．一般性讨论 9.2．拟线性双曲组9.3．孤波218