《数学物理方程 上》求取 ⇩

第一章数学模型1

1.1引言1

（一）偏微分方程的基本概念1

（二）数学物理的基本方法3

（三）推导数理方程和定解条件的一般步骤3

1.2波动方程的导出5

（一）弦（或杆）的振动5

（二）膜的振动8

（三）电磁波方程8

1.3输运方程的导出10

（一）热量的传导10

（二）物质的扩散13

（三）源与方程的齐次性14

（附）电报方程（传输线方程）15

1.4稳定场方程的导出16

（一）稳态分布16

（二）位势方程17

1.5定解条件18

（一）初始条件18

（二）边界条件20

（附）衔接条件25

1.6定解问题及其适定性27

（一）定解问题的常见类型27

（二）布列定解问题举例27

（三）解的概念和适定性问题29

习题134

第二章二阶线性方程初探37

2.1二阶线性方程的分类与化简37

（一）问题的意义37

（二）二元二阶线性方程的分类与化简40

（三）二阶线性常系数标准型方程的再化简45

（四）多元二阶线性方程的分类和标准型46

2.2线性问题的迭加原理48

（一）线性问题和线性算符48

（二）线性问题的迭加原理50

（三）线性问题的分解与化归52

2.3求解初探55

（一）通解法55

（二）视察法59

（三）解线性问题的一般径途63

（四）从解的性质看方程分类的意义69

习题270

第三章分离变量法初步73

3.1特殊的一维混合问题73

（一）两端固定时弦的自由振动73

（二）两端绝热时杆的无源导热77

（三）小结78

（四）举例80

（五）回顾与展望83

3.2一般的一维混合问题83

（一）一般问题的化归与分解83

（二）带有齐次定解条件的非齐次方程问题85

（三）小结性的思考题87

（四）技巧性举例88

3.3直角坐标的高维问题92

（一）矩形域上的边值问题93

（二）长方体上的混合问题95

3.4极坐标的边值问题99

（一）扇形域问题·坐标系的选取99

（二）圆内、外域或圆环域问题102

（三）应用举例106

3.5斯特姆-刘维定理110

（一）贝塞尔方程和勒让德方程的本征问题初议111

（二）斯-刘型方程及其本征问题114

（三）斯特姆-刘维定理116

习题3120

第四章本征问题与特殊函数125

4.1柱、球坐标的本征问题的来源125

（一）圆柱内边值问题的分离变量与本征问题125

（二）球内混合问题的分离变量与本征问题128

（三）小结130

4.2勒让德方程的本征问题与勒让德多项式131

（一）Pl（x）的罗巨里格表达式131

（二）母函数和递推公式134

（三）｛Pl（x）｝的正交性和模方139

（四）展开函数为傅里叶-勒让德级数140

4.3缔合勒让德函数和球函数142

（一）缔合勒让德方程的本征函数142

（二）｛Pm l（x）｝的正交性和模方144

（三）球函数方程的本征问题·｛Ym l（θ，？）｝的正交性与模方145

（四）展开函数为球函数系的级数147

4.4整数阶贝塞尔方程的本征问题和贝塞尔函数148

（一）＊Jm（x）的母函数和积分表达式148

（二）Jv（x）的递推公式与J±（2？+1）／2（x）的表达式150

（三）Jm（x）的渐近展开式与零点分布152

（四）整数阶贝塞尔方程的本征问题153

（五）贝塞尔本征函数的正交性，模方和傅里叶-贝塞尔展开156

4.5柱函数和其它贝塞尔函数159

（一）诺依曼函数和汉克尔函数·柱函数159

（二）变形贝塞尔方程和变形贝塞尔函数162

（三）球贝塞尔方程的本征问题和球贝塞尔函数164

习题4168

第五章分离变量法续171

5.1圆柱内轴对称物理问题171

（一）在圆柱两底面上有齐次边界条件的稳定场问题171

（二）在圆柱侧面上有齐次边界条件的稳定场问题173

（三）某些二维混合问题177

5.2柱坐标的其他一些物理问题179

（一）长圆筒体的温度变化179

（二）圆柱面的径向脉动181

（三）非轴对称问题举例184

5.3球坐标的轴对称位势问题189

（一）电荷轴对称分布的导体球壳189

（二）点电荷静电场中的接地导体球壳190

（三）匀强电场中的介质球194

5.4球坐标的一般位势问题197

（一）带电介质球外的静电场198

（二）电偶极子的静电场199

5.5球坐标的混合问题201

（一）恒温箱内匀质球的温度变化201

（二）球外声场204

（三）平面波展开为球面波的迭加205

习题5208

第六章行波法和傅氏变换法212

6.1一维自由波动问题的特征线法212

（一）一维自由波动达朗贝尔解的剖析212

（二）一维的半空间上自由波动问题的延拓法214

6.2高维自由波动问题的平均值法219

（一）三维自由波动问题的平均值法219

（二）二维自由波动问题的降维法226

6.3傅氏积分和傅氏变换230

（一）几个重要概念·傅氏积分定理230

（二）傅氏变换的性质和傅氏变换表235

（三）多重傅氏积分和多维傅氏变换239

6.4无源输运问题的傅氏变换法242

（一）一维无源输运问题的泊松公式242

（二）一维的半空上的无源输运问题244

（三）高维无源输运问题的泊松公式246

6.5其它问题的傅氏变换法249

（一）自由波动问题的傅氏变换法249

（二）双边无限区域上的边值问题251

（三）有界域问题·三种解法的沟通253

习题6255

第七章点源法259

7.1δ函数和冲量定理260

（一）δ函数的概念和基本性质260

（二）高维δ函数及其主要性质263

（三）冲量定理264

（四）冲量定理的种种推广267

7.2波动或输运问题的冲量定理法268

（一）混合问题的冲量定理法268

（二）初值问题的冲量定理法270

7.3格林函数法的思想和一维问题的格林函数法274

（一）有界弦纯强追振动的新解法274

（二）混合问题的格林函数和格林函数法的基本思想275

（三）初值问题的格林函数法280

7.4边值问题的格林函数法281

（一）泊松方程的基本解和积分公式281

（二）边值问题的格林函数·电象法283

（三）边值问题的积分公式289

（四）边值问题的格林函数法举例291

（附）上册结束语294

习题7296

附录常用基础知识复习和扩充299

0.1场论与正交曲面坐标的拉氏算符299

（一）标量场与矢量场299

（二）梯度、散度和旋度300

（三）哈密顿算符、拉氏算符和格林公式304

（四）调和场及调和函数306

（五）正交曲面坐标系308

（六）球、柱、极坐标的拉氏算符表达式309

复习题1312

0.2两个求导公式313

（一）求乘积高阶导数的莱布尼兹公式313

（二）含参变数积分的求导公式314

复习题2316

0.3二阶线性常微分方程317

（一）常系数齐次方程的通解与简谐方程的本征问题317

（二）迭加原理与解的结构322

（三）常数变易法与初值问题324

（四）变量代换法与欧拉方程的解327

复习题3329

0.4Γ函数的基本知识330

（一）作为含参变量积分的Γ函数330

（二）递推公式·阶乘与Γ函数的联系331

（三）定义域的扩充332

复习题4333

0.5常微分方程的幂级数解法333

（一）幂级数复习334

（二）常微分方程的幂级数解338

（三）勒让德方程的幂级数解法341

（四）贝塞尔方程的幂级数解法344

复习题5349

0.6三角函数系和傅里叶级数350

（一）三角函数系的正交性和完备性350

（二）傅里叶级数和傅里叶展开354

（三）复数形式的傅氏级数和多重傅氏级数358

复习题6362

附录 自我考查卷363

上册习题答案与提示366

附录 复习题答案385

附录 自我考查卷答案387