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第一章 函数1

第一节 函数概念1

一、常量与变量1

二、函数的定义1

第二节 函数的表示法和函数的特性4

一、函数的三种表示法4

二、分段函数与反函数4

三、函数的几种特性6

第三节 基本初等函数及其图形7

一、幂函数7

二、指数函数8

三、对数函数8

四、三角函数9

五、反三角函数9

第四节 复合函数与初等函数10

一、复合函数10

二、初等函数11

三、函数关系的建立12

第五节 曲线直线化与函数尺14

一、曲线直线化14

二、函数尺、对数纸17

第二章 函数的极限与连续22

第一节 数列的极限22

第二节 函数的极限25

一、x→∞时函数的极限25

二、x→x0时函数的极限26

三、无穷小与无穷大29

第三节 极限的四则运算法则31

一、无穷小定理31

二、极限的四则运算定理32

第四节 极限存在准则与两个重要极限34

一、准则Ⅰ与？sinx/x35

二、准则Ⅱ与？（1＋1/x）x36

三、无穷小量的阶39

第五节 函数的连续性41

一、函数的连续概念41

二、间断点及其分类43

三、闭区间上连续函数的性质45

四、初等函数的连续性47

第三章 导数与微分51

第一节 导数的概念51

一、两个实例51

二、函数的导数52

三、函数的连续性与可导性的关系55

第二节 几个基本初等函数的导数56

一、常数的导数56

二、幂函数的导数57

三、正弦函数及余弦函数的导数57

四、对数函数的导数58

第三节 函数四则运算的导数59

第四节 复合函数的导数61

第五节 反函数的导数与隐函数的导数64

一、反函数的导数64

二、隐函数的导数65

三、导数公式的汇集67

第六节 高阶导数68

第七节 导数的近似计算69

一、图解法69

二、解析法69

第八节 微分72

一、微分及其几何意义72

二、函数四则运算的微分74

三、高阶微分74

四、一阶微分形式的不变性75

第九节 由参数方程所确定的函数的导数76

第十节 微分的应用78

一、近似计算78

二、误差估计79

第四章 导数在函数研究上的应用83

第一节 中值定理83

一、罗尔定理83

二、拉格朗日中值定理84

三、柯西中值定理86

第二节 洛必达法则87

第三节 泰勒公式89

一、用多项式近似表示函数89

二、泰勒公式91

第四节 单调函数94

第五节 函数的极值95

第六节 曲线的凹凸和拐点101

一、凹凸和拐点的概念及判定法101

二、函数图形的描绘103

第七节 弧的微分与＊曲率105

第五章 不定积分109

第一节 原函数与不定积分的概念109

第二节 基本积分公式和不定积分性质111

一、基本积分公式111

二、不定积分性质112

第三节 换元积分法114

第四节 分部积分法122

第五节 有理函数与无理函数的积分举例124

一、有理函数的积分举例124

二、三角函数的有理式积分举例128

三、简单无理式的积分举例129

第六节 积分表的使用法131

第六章 定积分及其应用135

第一节 定积分的概念135

一、两个实例135

二、定积分的定义与几何意义136

第二节 定积分的性质139

第三节 牛顿——莱布尼兹公式141

一、可变上限的定积分141

二、牛顿——莱布尼兹公式143

第四节 定积分法145

一、换元积分法145

二、分部积分法147

三、定积分的近似计算——悌形法147

第五节 定积分的应用150

一、平面图形的面积150

二、体积151

三、平面曲线的弧长154

四、变力所做的功156

五、液体的静压力157

六、函数的平均值158

第六节 广义积分和Γ函数160

一、无穷区间上的广义积分161

二、被积函数有无穷型不连续点的广义积分162

三、Γ函数164

第七章 微分方程167

第一节 微分方程的基本概念167

第二节 一阶微分方程169

一、可分离变量的微分方程169

二、一阶线性微分方程172

三、杂例175

第三节 三种特殊类型的高阶微分方程179

一、y（n）＝f（x）型的微分方程179

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程180

三、y″＝f（y，y′）型的微分方程181

第四节 线性微分方程解的结构182

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程184

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程190

一、f（x）＝Pn（x）eax型190

二、f（x）＝eax〔Pn（x）cosβx＋P τ（x）sinβx〕型193

第七节 微分方程组举例195

第八章 空间解析几何 向量代数203

第一节 空间直角坐标系203

一、空间点的直角坐标203

二、空间两点的距离204

第二节 空间曲面和曲线206

一、曲面及其方程206

二、空间曲线及其方程209

三、空间曲线在坐标面上的投影210

第三节 向量代数213

一、向量的概念213

二、向量的加减法、向量与数量的乘积214

三、向量的坐标217

四、两向量的数量积221

五、两向量的向量积223

第四节 空间平面和直线227

一、平面的方程227

二、空间直线的方程230

第五节 二次曲面、锥面233

一、五种常见的二次曲面233

二、锥面237

第六节 球面坐标、柱面坐标238

一、球面坐标239

二、柱面坐标240

第九章 多元函数微分法244

第一节 多元函数244

一、一般概念244

二、二元函数的极限和连续246

第二节 偏导数250

一、偏导数的概念250

二、偏导数的几何意义253

第三节 全微分及其应用254

一、全增量与全微分的概念254

二、全微分的应用258

第四节 复合函数及隐函数的求导法则261

一、复合函数的求导法则261

二、隐函数的求导公式264

第五节 空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线266

一、空间曲线的切线与法平面266

二、曲面的切平面与法线268

第六节 高阶偏导数271

第七节 二元函数的泰勒公式276

第八节 多元函数的极值280

一、多元函数极值的概念及求法280

二、多元函数的最大值与最小值282

三、条件极值、拉格朗日乘数法283

第十章 重积分289

第一节 二重积分的概念和性质289

一、二重积分的概念289

二、二重积分的性质291

第二节 二重积分的计算及应用293

一、利用直角坐标计算二重积分293

二、利用极坐标计算二重积分300

三、二重积分的应用304

第三节 广义二重积分309

第四节 三重积分的概念312

第五节 三重积分的计算313

一、利用直角坐标计算三重积分313

二、利用柱面坐标计算三重积分316

三、利用球面坐标计算三重积分318

四、物体的重心和转动惯量320

第十一章 曲线积分、曲面积分325

第一节 对弧长的曲线积分325

一、对弧长的曲线积分的概念和性质325

二、对弧长的曲线积分的计算327

第二节 对坐标的曲线积分329

一、对坐标的曲线积分的概念和性质329

二、对坐标的曲线积分的计算332

第三节 格林公式及其应用337

一、格林公式337

二、曲线积分与路径无关的条件339

三、二元函数全微分的求积341

第四节 曲面积分344

一、对面积的曲面积分344

二、对坐标的曲面积分348

三、奥—高公式、斯托克斯公式354

第十二章 无穷级数365

第一节 数项级数365

一、无穷级数的基本概念365

二、级数的基本性质367

三、正项级数的收敛判别法369

四、交错级数、莱布尼兹判别法373

五、绝对收敛和条件收敛375

第二节 幂级数378

一、函数项级数的一般概念378

二、幂级数及其收敛性379

三、幂级数的运算381

第三节 函数展开为幂级数383

一、泰勒级数383

二、初等函数的幂级数展开式385

第四节 幂级数的应用388

一、泰勒级数在近似计算上的应用388

二、欧拉公式391

三、微分方程的幂级数解法392