《高等数学 上》

第一章函数与极限1

1.1函数1

一 函数的概念1

二 函数的几种特性4

三 反函数与分段函数5

四 初等函数8

五 双曲函数15

习题1.116

1.2数列的极限19

一 数列的概念19

二 数列的极限19

习题1.224

1.3函数的极限25

一 x→∞时函数的极限25

二 x→x0时函数的极限27

习题1.332

1.4无穷小与无穷大33

一 无穷小33

二 无穷大34

习题1.436

1.5极限运算法则37

习题1.542

1.6两个重要的极限43

一 ？43

二 ？45

习题1.646

1.7无穷小的比较47

习题1.749

1.8函数的连续性与间断点50

一 函数的连续性50

二 函数的间断点54

习题1.858

1.9连续函数的运算59

习题1.961

1.10闭区间上连续函数的性质62

习题1.1064

第二章导数与微分66

2.1导数的概念66

一 变化率问题举例66

二 导数的定义69

三 求导数举例70

四 导数的几何意义74

五 可导与连续的关系76

习题2.178

2.2函数的和、差、积、商的导数79

习题2.282

2.3复合函数的导数83

习题2.387

2.4反函数的导数90

习题2.493

2.5隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数95

一 隐函数的导数95

二 由参数方程所确定的函数的导数97

习题2.599

2.6高阶导数100

习题2.6105

2.7微分及其应用106

一 微分的概念106

二 微分的运算111

三 微分的应用114

习题2.7120

第三章中值定理与导数应用123

3.1中值定理123

一 罗尔定理123

二 拉格朗日中值定理125

三 柯西中值定理129

习题3.1129

3.2罗必塔法则130

一 0/0及∞／∞型不定式的极限131

二 ∞—∞与0·∞型不定式的极限134

三 00、∞0、1∞型不定式的极限136

习题3.2137

3.3泰勒公式138

习题3.3145

3.4函数单调性的判定法146

习题3.4148

3.5函数的极值及其求法149

习题3.5154

3.6最大值与最小值155

习题3.6159

3.7曲线的凹凸与拐点160

习题3.7163

3.8曲线的渐近线163

一 垂直渐近线164

二 水平渐近线165

习题3.8166

3.9函数图形的描绘167

习题3.9170

3.10曲线的曲率171

一 弧微分171

二 曲率173

三 曲率的计算公式175

习题3.10177

3.11方程的近似解178

一 弦位法180

二 切线法（牛顿法）181

习题3.11182

第四章不定积分183

4.1不定积分的概念183

习题4.1186

4.2 不定积分的性质187

4.3基本积分公式188

习题4.3192

4.4换元积分法193

一 第一类换元积分法193

二 第二类换元积分法202

习题4.4207

4.5分部积分法210

习题4.5215

4.6有理函数的积分216

习题4.6224

4.7三角函数有理式的积分225

习题4.7227

4.8简单无理函数的积分227

习题4.8230

4.9积分表的使用230

习题4.9232

第五章定积分234

5.1定积分概念234

一 定积分问题的举例234

二 定积分定义238

习题5.1241

5.2定积分的性质242

习题5.2245

5.3定积分与不定积分的关系（牛顿-莱布尼兹公式）246

习题5.3251

5.4定积分的换元积分法252

习题5.4255

5.5定积分的分部积分法256

习题5.5260

5.6定积分的近似计算261

一 矩形法261

二 梯形法262

三 抛物线法（辛普生法）263

习题5.6267

5.7广义积分268

一 无穷区间的广义积分268

二 被积函数有无穷间断点的广义积分270

习题5.7273

第六章定积分的应用275

6.1平面图形的面积276

一 直角坐标情形276

二 极坐标情形282

习题6.1285

6.2体积286

一 旋转体的体积286

二 平行截面面积为已知的立体体积289

习题6.2291

6.3平面曲线的弧长292

习题6.3295

6.4定积分在物理方面的应用举例296

一 变力作功296

二 水压力298

习题6.4300

第七章微分方程301

7.1微分方程的基本概念301

一 微分方程问题举例301

二 微分方程的基本概念304

习题7.1306

7.2一阶微分方程307

一 可分离变量的微分方程307

二 齐次方程313

三 一阶线性微分方程317

四 贝努利方程321

习题7.2323

7.3特殊型高阶微分方程325

一 y（n）＝f（x）型的微分方程326

二 y″＝f（x,y′）型的微分方程327

三 y″＝f（y,y′）型的微分方程328

习题7.3329

7.4线性微分方程解的结构330

习题7.4334

7.5常系数齐次线性微分方程334

习题7.5341

7.6常系数非齐次线性微分方程342

一f（x）＝eλxPm（x）型343

二 f（x）＝eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型346

习题7.6349

附录Ⅰ积分表351

附录Ⅱ习题答案373