《高等数学》

第一篇认识函数2

第一章 向量代数与欧氏空间2

1 向量及其坐标表示2

2 向量的乘法8

3 n维向量与欧氏空间13

4 Rn的子集17

5 直线19

6 平面21

7 曲线与曲面25

习题一31

第二章 映射与函数36

1 映射与函数36

2 函数的几种特性40

3 初等函数42

4 多元实值函数44

5 一元向量值映射46

6 多元向量值映射48

7 线性映射及其矩阵表示50

习题二54

第三章 函数的连续性57

1 函数连续性的直观描述57

2 函数的极限61

3 基本极限定理66

4 基本极限定理的证明72

5 初等函数的连续性74

6 无穷小量及其比较77

7 闭区间上连续函数的性质80

8 多元实值函数的连续性82

9 多元向量值映射的连续性85

10 再论连续性85

习题三88

第四章 函数的光滑性91

1 光滑性的直观描述91

2 导数93

3 求导法则与初等函数的导数95

4 一元函数的微分102

5 函数的光滑性105

6 一元向量值映射的导数111

7 方向导数与偏导数116

8 全导数与全微分119

9 全导数的性质与求导法则125

10 全导数与全微分的两个应用127

11 多元向量值映射的导数与微分130

12 逆映射定理与隐映射定理136

13 映射的光滑性143

习题四145

第五章 导数的应用151

1 一元函数的微分中值定理151

2 函数的多项式逼近154

3 罗必塔法则161

4 多元实值函数的微分中值定理164

5 利用导数研究函数的性质167

6 多元函数的极值173

习题五177

第六章 定积分181

1 积累问题举例181

第二篇微分积累181

2 定积分的概念183

3 可积条件与可积函数类185

4 定积分的性质188

5 微积分基本定理192

6 原函数的计算与不定积分194

7 定积分的近似计算209

8 定积分的几何应用215

9 广义积分与瑕积分221

习题六227

第七章 多元函数的积分233

1 二重积分233

2 三重积分247

3 n重积分256

4 第一型曲线积分258

5 第一型曲面积分261

6 黎曼-斯提杰斯积分简介263

习题七265

第八章 流形上的积分269

1 第二型曲线积分269

2 第二型曲面积分273

3 Green公式279

4 保守场与曲线积分的道路无关性283

5 Gauss公式286

6 Stokes公式与旋度290

7 外微分与一般Stokes公式294

习题八299

1 建模基本原理305

第九章 数学模型305

第三篇数学模型与寻找函数305

2 运动的模型308

3 流体力学中的模型311

4 交通流模型315

5 最优化模型317

6 数学模型问题求解的映射化320

第十章 线性赋范空间与有限维逼近322

1 度量空间322

2 线性赋范空间326

3 线性赋范空间的完备化330

4 有限维逼近与无穷级数334

5 数项级数的审敛法337

6 Banach空间中无穷级数的敛散性343

习题十349

1 内积空间与Hilbert空间352

第十一章 Hilbert空间与Fourier级数352

2 L2〔a,b〕中的完全标准化正交基358

3 用级数方法求解数学模型365

习题十一368

第十二章 数学模型的精确解370

1 可分离变量的一阶微分方程371

2 一阶线性微分方程374

3 全微分方程377

4 可降阶的高阶微分方程381

5 线性微分方程解的结构和二阶常系数齐次线性方程的解385

6 二阶常系数非齐次线性方程的解与Euler方程388

7 压缩映像原理与算子方程的适定性394

习题十二399

习题答案与提示401