《数值数学方法引论》

前言1

Ⅰ 基本概念1

1.算法与误差传播1

1.1 算法1

1.2 算法的实现2

1.3 算法的鉴定3

1.4 习题与补充3

2.矩阵4

2.1 记号4

2.2 矩阵乘积6

2.3 Falk格式7

2.4 秩与行列式8

2.5 范数与收敛性9

2.6 习题与补充10

Ⅱ 线性方程组与线性不等式组12

3.Gauss算法12

3.1 回代法12

3.2 Gauss算法13

3.3 主元的选取14

3.4 习题与补充15

4.1 A的LR分解16

4.LR分解16

4.2 选主元的LR分解17

4.3 线性方程组18

4.4 习题与补充19

5.置换法19

5.1 变量交换20

5.2 表格式与算法20

5.3 矩阵求逆22

5.4 线性方程组23

6.1 对称分解25

6.Cholesky分解25

5.5 习题与补充25

6.2 存在性与唯一性26

6.3 对称线性方程组27

6.4 后期迭代28

6.5 习题与补充29

7.QR分解30

7.1 Householder变换30

7.2 Householder算法31

7.3 线性方程组32

7.4 习题与补充33

8.1 坐标松弛法34

8.松弛法34

8.2 优对角矩阵的收敛性36

8.3 极小问题37

8.4 对称正定矩阵的收敛性39

8.5 几何解释40

8.6 习题与补充41

9.线性拟合41

9.1 超定线性方程组42

9.2 QR分解的应用43

9.3 应用43

9.4 亚定线性方程组45

9.5 应用46

9.6 几何意义及对偶性47

9.7 习题与补充47

10.线性最优化48

10.1 线性不等式与线性规划48

10.2 顶点交换与单纯形方法50

10.3 消去法52

10.4 Tschebyscheff拟合54

10.5 习题与补充56

11.1 矩阵的特征值问题58

11.向量迭代58

Ⅲ 迭代法58

11.2 Modal矩阵59

11.3 von Mises向量迭代法60

11.4 逆迭代法62

11.5 近似值的改进63

11.6 习题与补充64

12.LR算法65

12.1 Rutishauser算法65

12.2 收敛性证明66

12.3 绝对值相等的特征值对68

12.4 习题与补充69

13.一维迭代70

13.1 压缩映像70

13.2 误差估计72

13.3 收敛速度73

13.4 Aitken的△2-方法74

13.5 几何加速收敛75

13.6 零点76

13.7 习题与补充77

14.2 收敛速度78

14.1 压缩映像78

14.多维迭代78

14.3 加速收敛79

14.4 方程组的零点80

14.5 习题与补充80

15.多项式的零点81

15.1 Horner格式81

15.2 推广的Horner格式82

15.3 单零点83

15.4 Bairstow方法84

15.5 确定二次因子推广的Horner格式85

15.6 习题与补充86

16.Bernoulli方法87

16.1 线性差分方程87

16.2 矩阵书写方式88

16.3 Bernoulli方法89

16.4 逆迭代表90

16.5 习题与补充91

17.QD格式91

17.1 三对角阵的LR算法92

17.2 多项式的QD格式94

17.3 绝对值相同的根对95

17.4 习题与补充96

Ⅳ 插值与离散逼近98

18.插值98

18.1 插值多项式98

18.2 Lagrange多项式99

18.3 Lagrange插值101

18.4 Newton插值102

18.5 多维插值103

18.6 Aitken引理105

18.7 Neville格式106

18.8 习题与补充107

19.离散逼近108

19.1 Taylor展式108

19.2 基点多项式109

19.3 Tschebyscheff逼近111

19.4 Tschebyscheff多项式112

19.5 极小性质113

19.6 按Tschebyscheff多项式展开114

19.7 多项式次数的降低115

19.8 最小二乘法116

19.9 Tschebyscheff多项式的正交性116

19.10 习题与补充118

20.Bézier多项式119

20.1 Bernstein多项式119

20.2 Bézier多项式120

20.3 点与切线的构造121

20.4 Bézier曲面123

20.5 习题与补充124

21.样条与子样条125

21.1 Bézier曲线125

21.2 可微性条件126

21.3 三次样条及子样条128

21.4 极小性质130

21.5 习题与补充132

Ⅴ 数值微分与数值积分133

22.数值微分与数值积分133

22.1 基点多项式的微分133

22.2 数值数分的误差估计135

22.3 基点多项式的积分136

22.4 求和139

22.5 数值积分的误差估计140

23.外推法141

23.1 逼近序列141

22.6 习题与补充141

23.2 Richardson外推法142

23.3 重复的Richardson外推法144

23.4 Romberg积分145

23.5 习题与补充146

24.微分方程的单步法147

24.1 离散化147

24.2 离散误差148

24.3 Runge-Kutta方法150

24.4 Runge-Kutta公式对153

24.5 步长控制154

24.6 习题与补充155

25. 微分方程的线性多步法156

25.1 离散化156

25.2 多步法的收敛性157

25.3 根条件158

25.4 收敛的充分条件159

25.5 起步计算162

25.6 预测--校正方法162

25.7 步长控制163

25.8 单步法与多步法的比较165

25.9 习题与补充165