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目录1

绪论1

§1 数值计算方法研究的对象和特点1

§2 数值计算中的误差、收敛性与数值稳定6

性6

附录　误差概念9

一、近似数误差概念9

二、数值计算中控制误差的若干原则12

习题14

第一篇　数值代数16

第一章　解n阶线性方程组的分解法16

§1.1 直接LU分解法16

一、基本思想16

二、矩阵A的LU分解18

三、直接LU分解解方程组的算法20

四、动态算法22

五、LU分解的存在唯一性25

六、数值稳定性26

七、特点与应用条件27

习题 1.127

§1.2　列主元LU分解法27

一、基本思想27

二、算法28

习题 1.234

§1.3 解对称方程组的LDLT分解法34

一、对称阵的LDLT分解定理34

二、方程解法35

三、节约存贮单元的处理39

四、实用算法40

五、算法的演化及评注41

习题　1.342

§1.4 追赶法42

二、算法的导出43

一、设计思路43

三、实用算法44

四、解的存在唯一性与算法的数值稳定性45

五、特点45

六、等距点三次样条插值中的三对角方程组解法46

习题 1.447

§1.5　分解法的误差分析47

一、分解法误差来源47

二、方程组对初始误差的敏感性48

三、矩阵的条件数49

四、方程病态的估计与改善51

附录　向量和矩阵的范数55

习题 1.559

＊§1.6　OR分解法60

一、非奇异阵的正交分解定理60

二、Householder镜象映射变换60

三、n阶非奇异矩阵的QR分解64

四、用QR分解法解线性方程组67

第二章 解n阶线性方程组的超松弛迭代法72

§2.1 设计思想及算法72

一、雅可比迭代法的基本思想及迭代格式72

二、赛德尔迭代法的思想及迭代格式74

三、超松弛迭代法的设计思想及迭代格式76

四、最佳松弛因子ωopt78

习题 2.178

§2.2 迭代矩阵79

一、雅可比迭代法79

二、赛德尔迭代法80

三、超松弛迭代法80

习题 2.281

§2.3 迭代法的收敛性定理81

一、利用迭代矩阵判断一般迭代法收敛的定理81

三、SOR法收敛性定理84

二、利用原始系数矩阵特征判断该方程组应用J法和84

S法的收敛性定理84

四、迭代法的特点85

习题　2.385

＊第三章　矩阵特征值的计算与解m×n线性方程组87

的奇异值分解法87

§3.1　引言87

§3.2　计算特征值的带原点位移的QR算法88

一、QR算法的基本思想及迭代格式88

二、几个问题的讨论89

三、求对称三对角矩阵特征值的带位移的QR算法91

§3.3　奇异值分解的理论基础96

一、奇异值分解的存在性96

二、奇异值分解的唯一性99

三、奇异值的特征99

四、奇异值分解的稳定性101

一、基本思想102

§3.4　m×n矩阵的奇异值分解方法102

二、任意m×n矩阵等价变换为上双对角阵的方法103

三、上双对角阵的对角化方法与原理105

四、原点位移量的计算109

五、奇异值分解计算实例110

§3.5　用奇异值分解法解线性方程组的依据114

和算法114

一、任意m×n线性方程组解的形式及广义逆矩阵A+114

概念初步114

二、奇异值分解法解m×n线性方程组116

§3.6 奇异值分解法与其它几种解方程方法118

的结果比较118

第二篇　数值逼近121

第四章　插值法121

§4.1 n次拉格朗日插值123

一、插值多项式的构成123

二、代数插值多项式的存在唯一性125

三、Ln（x）的截断误差与收敛性126

四、Ln（x）的舍入误差与数值稳定性130

习题　4.1132

§4.2　等距节点n次拉格朗日插值多项式132

Ln（t）132

§4.3　等距点分段线性插值134

一、Lh1（t）的构造134

二、截断误差Rh1（t）136

三、数值稳定性与收敛性136

§4.4　等距点三次样条插值138

一、问题的提出138

二、基本概念139

三、S1（t）的构造方法141

四、计算步骤146

五、截断误差、收敛性与稳定性定理148

二、数值积分的基本思想和类型150

一、问题的提出150

第五章　数值积分与微分150

§5.1　数值积分基本概念150

三、精度的衡量指标153

四、牛顿-柯特斯求积公式154

习题 5.1157

§5.2　复化求积公式157

一、复化梯形公式158

二、复化辛卜生公式161

习题 5.2164

§5.3　高斯求积公式164

一、基本思想164

二、正交多项式164

三、高斯型求积公式的构造166

四、高斯—勒让德求积公式169

一、数值微分的概念及类型174

§5.4　插值求导与样条求导174

习题 5.3174

二、插值求导法175

三、样条求导法179

习题 5.4183

第六章　最小二乘拟合184

§6.1　基本概念184

§6.2　代数多项式拟合187

一、代数拟合多项式的构造方法187

二、等距点代数多项式拟合188

三、法方程系数阵的正定性及解的存在唯一性191

四、法方程解的数值稳定性192

五、在物化探解释计算中的应用193

习题　6.2194

§6.3　等距点正交多项式拟合195

一、正交多项式的构造方法195

二、曲线拟合步骤199

三、收敛性202

四、优点203

附录　等距点正交多项式的构造204

第三篇　地球物理正反演的数值方法209

第七章　最小二乘最优化反演209

§7.1　基本概念209

§7.2　基础理论212

一、多变量函数的微分212

二、多元函数的泰勒展开215

三、极小点及其判定条件216

四、二次目标函数的极小点218

习题　7.2219

§7.3　最小二乘法（高斯法）220

一、算法的基本思想221

二、算法的导出221

三、收敛性223

习题　7.3224

一、基本思想225

§7.4 阻尼最小二乘法（M法）225

二、算法的导出226

三、阻尼最小二乘法实质226

四、阻尼因子的选择229

五、算法229

六、存在的问题231

§7.5 改进的阻尼最小二乘法（MF法）231

一、调整λ的准则231

二、乘子v的选取235

三、截止阻尼系数λc的选取235

附录7.1 公式v＝2—？的导出方法236

附录7.2　定理7.5-1的证明238

§8.1 广义逆反演原理及算法240

一、问题的提出240

＊第八章　广义逆反演法240

二、广义逆反演算法242

§8.2　改进的广义逆反演法243

一、广义逆反演法与阻尼最小二乘法的内在联系243

二、改进的广义逆反演法245

§8.3　广义逆反演的辅助信息245

一、数据分辨矩阵246

二、模型分辨矩阵248

三、协方差矩阵250

四、分辨率与协方差的关系251

§8.4　广义逆反演实例253

附录1 地球物理反问题中线性方程组的类型255

附录2 广义逆矩阵257

一、广义逆矩阵的一般概念257

二、相应于相容方程组的广义逆矩阵A-259

三、相容线性方程组的最小范数解及广义逆矩阵A？262

四、矛盾方程组的最小二乘解及广义逆矩阵A？266

阵A+268

五、矛盾方程组的最小二乘最小范数解及广义逆矩268

六、广义逆的性质269

附录3 随机变量的协方差矩阵271

第九章　解二维电（磁）场椭圆方程的有限元法273

§9.1 与椭圆方程边值问题等价的变分问题273

一、基本概念273

二、椭圆方程边值问题的变分提法277

§9.2　有限元法基本思想279

§9.3　二维区域的三角剖分及分片线性插值282

一、三角剖分282

二、三角分片线性插值283

§9.4　二维电（磁）场有限元解法的建立288

一、剖分区域288

二、单元分析289

三、总体合成及求解线性方程组292

§9.5　拉氏方程混合边值问题求解实例296

四、有限元程序框图296

§9.6　有限元法的特点和优点302

§9.7　几个问题的说明304

一、关于矩阵K的非负性和K11的正定性304

二、关于？＝∫eNsρdxdy的计算方法305

三、关于有限元法的收敛性307

第十章　快速傅里叶变换309

§10.1 引言309

第四篇　数字信号处理309

§10.2 同余数概念和数的二进制表示312

一、减少乘法次数的基本思想及同余数概念312

二、二进制数的表示313

§10.3 一维复序列的FFT算法314

一、N＝4的FFT算法314

二、N＝8的FFT算法318

三、任意N＝2m改进的FFT算法321

一、傅氏变换的三个有关性质324

§10.4 一维实序列的FFT算法324

习题　10.3324

二、实序列FFT算法的基本思想325

三、实序列频谱的计算326

四、实序列FFT算法328

五、实例329

§10.5　二维实序列FFT算法331

一、二维实序列FFT的基本思想331

二、利用一维复FFT实现二维复FFT的算法332

三、用Rmn、Imn换算Xmn334

四、二维实序列的FFT算法338

五、二维实序列FFT在位场转换中的应用339

第十一章　Z变换、褶积、相关与反褶积342

§11.1 Z变换的引例及有关概念342

§11.2 Z变换348

一、Z变换的定义348

二、收敛域349

三、序列的Z变换与序列频谱的关系351

四、Z变换的性质352

§11.3　逆Z变换352

一、直接展开法352

二、回路积分法354

§11.4　快速褶积355

一、基本思想355

二、基本问题的讨论356

三、快速褶积算法360

§11.5　快速相关364

一、基本概念364

二、快速相关算法369

§11.6　反褶积（反滤波）373

一、问题的提出373

二、反滤波器376

三、反褶积及其解法379

参考文献383