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第一篇 数学思想发展简述1

第一章 数学产生于社会实践5

第一节 数学是对现实世界的反映6

一 现实世界提供的“素材”6

二 原始概念产生于实践活动之中9

第二节 数的概念的产生9

一 历史文物中反映的数概念9

二 数概念形成的理论探讨12

第三节 形的概念的形成20

一 开端20

二 发展22

三 形成23

第一节 巴比伦的泥板数学27

第二章 文明古国的数学27

第二节 古埃及的金字塔和纸草书29

第三节 中国的甲骨文与数学33

第四节 数学思想的一致性36

第三章 数学思想的两大源泉--《几何原本》和《九章算术》39

第一节 古希腊的《几何原本》40

一 《几何原本》思想方法的特点40

二 《几何原本》的思想方法源远流长42

第二节 中国的《九章算术》50

一 《九章算术》思想方法的特点51

二 《九章算术》的思想方法承前启后58

第四章 中国封建社会数学思想的特点62

第一节 中国封建社会文化思想的特点62

一 经世致用思想63

二 辩证思想64

三 系统思想65

第二节 实用思想--中国古代数学思想的特点之一66

一 开放的应用数学体系67

二 中国古代的数理天文72

第三节 神秘思想--中国古代数学思想的特点之二77

第四节 算法化思想--中国古代数学思想的特点之三82

一 开立圆术82

二 关于数列的几个算法83

三 开方术84

四 天元术85

五 四元术86

第五节 辩证思想--中国古代数学思想的特点之四88

一 极限思想88

二 初步的运筹思想93

第六节 正统思想--中国古代数学思想的特点之五96

第七节 中国古代的数学成就简介101

第五章 变量数学的兴起和发展--西方资本主义社会初期的数学思想104

第一节 产生数学新思想的前奏105

一 代数学的发展105

二 在科学中应用数学的思想110

第二节 变量思想进入数学--解析几何的产生113

一 解析几何的基本思想114

二 解析几何的意义116

第三节 微积分的产生和初步发展120

一 微积分产生的背景120

二 微积分的初步思想121

三 微积分思想对数学发展的影响127

第六章 数学思想的飞跃--19世纪的数学思想133

第一节 非欧几何思想的产生134

一 第五公设的试证工作135

二 非欧几何学的形成136

第二节 群论思想的发展138

一 方程论的研究情况138

二 群论--代数结构思想的产生141

三 阿贝尔和伽罗瓦的思想方法143

四 群论思想对数学发展的意义147

第三节 分析基础的建立149

一 极限思想150

二 实数理论153

第四节 集合论思想158

一 实无限的概念158

二 集合论的基本思想方法160

一 数学理论发展的新阶段163

第五节 重要的数学成就163

二 数学应用的新阶段166

第七章 二十世纪数学思想举例168

第一节 数学基础169

一 集合论悖论简介170

二 消除悖论的努力172

三 三大学派的基本思想177

四 数理逻辑的新发展182

第二节 理论数学186

一 抽象代数学186

二 拓扑学188

三 泛函分析190

第三节 20世纪的数学成就192

第二篇 数学方法概论206

第一节 抽象的方法207

第八章 抽象和概括207

一 抽象过程208

二 等置抽象210

三 理想化方法215

四 实现可能性抽象220

第二节 概括的方法225

一 概括与抽象的关系225

二 概括过程226

三 数的概念的扩张230

第九章 证明和计算236

第一节 证明236

一 一般推理规则236

二 数学证明的结构240

三 证明的规则241

四 形成证明244

五 反驳250

第二节 计算252

一 什么是计算253

二 算法255

三 计算工具264

四 数学计算的重要意义273

第十章 公理法275

第一节 什么是公理法275

第二节 公理法的构成278

一 公理系统和论域278

二 概念和命题283

第三节 公理法的发展288

一 具体的公理体系289

二 抽象的公理体系290

三 形式化294

第四节 公理法的作用和意义300

第十一章 数学模型法303

第一节 数学模型概念303

第二节 数学模型的历史发展304

第三节 建立数学模型的方法306

一 建立数学模型的一般过程306

二 建立数学模型的基本原则308

第四节 数学模型法的应用309

一 应用数学模型的意义310

二 应用数学模型法的主要过程314

第十二章 电子计算机对数学思想方法的影响319

第一节 电子计算机的广泛应用320

一 科学计算320

二 过程控制322

三 信息处理324

第二节 形成新数学理论328

一 形成新学科328

二 对其他数学分支的影响329

第三节 开拓了数学思想方法应用的新领域331

一 扩展了应用范围331

二 提高了应用数学思想方法的自觉性336

第四节 奠定了系统科学的基础337

一 控制论337

二 运筹学341

三 系统工程344

第五节 数学思想方法的新发展352

一 数学模拟方法的变革352

二 离散数学的新发展355

三 证明和计算趋向统一358

第三篇 数学认识论浅说363

第十三章 西方数学观简介364

第一节 古希腊人的数学观364

第二节 中世纪的数学观370

一 黑暗时代370

二 中世纪后期372

第三节 文艺复兴时期的数学观374

第四节 十七、十八世纪的数学观376

一 十七世纪的数学观376

二 十八世纪的数学观380

第五节 十九世纪以后的数学观384

一 集合论数学观384

二 三大学派的数学观386

三 晚近的一些观点389

第十四章 数学的对象395

第一节 关于数学对象的理解问题395

一 数学的对象的特点396

二 对“数学的对象”本身的理解399

第二节 恩格斯的科学论述402

一 阐明了数学对象的客观性403

三 揭示了数学的特点405

第三节 商榷：几种不同的界说406

一 数学以现实世界为对象406

二 数学没有特定的对象407

三 过时论409

四 结构观410

一 数学概念没有直接的现实原型413

第一节 高度的抽象性413

第十五章 数学的特点413

二 数学理论解释的特殊性416

三 数学研究方法的抽象性417

第二节 体系的严谨性419

一 严格性是一个历史的概念420

二 严格性是一个相对的概念424

三 数学结论的确定性425

第三节 应用的广泛性429

一 数学向现代科学技术的全面渗透429

二 指出了数学对象的历史性440

二 数学的作用441

第十六章 数学知识的结构448

第一节 结构的意义和类别449

第二节 数学宏观结构的历史演化451

一 古代的数学结构观念452

二 近代对数学结构的认识453

第三节 数学的宏观结构459

一 数学基础460

二 代数学461

三 几何学464

四 分析数学467

五 统计数学469

六 计算数学471

七 控制论、信息论473

八 数学物理474

九 运筹学474

第四节 数学新理论举例--数学结构的不断发展475

一 分数维几何学475

二 突变理论480

第一节 数学理论真理性的意义487

一 真理概述487

第十七章 数学理论的评价问题487

二 数学真理性问题的特点490

第二节 实践是检验真理的唯一标准495

一 实践标准的意义495

二 数学理论真理标准问题的特殊性496

第三节 数学理论真理性的检验499

一 数学理论实践检验的特点499

二 数学理论真理性检验的复杂性501

第四节 数学理论的价值评价问题504

一 数学理论的价值性504

二 历史上的评价标准506

三 正确评价问题508

一 数学命题的“不可证伪性”512

第十八章 数学发展的规律性问题512

第一节 数学发展的特点512

二 数学理论发展的“概括”方式514

第二节 数学理论的产生方式517

一 以实际问题为起点的方式518

二 以理论问题为起点的方式522

三 数学理论发展的途径528

第三节 数学发展的动力问题534

一 生产力发展的需要是数学发展的最基本的动力535

二 社会活动的需要是数学发展的重要动力537

三 精神需要539

第四节 现代数学的发展趋势541

一 数学的辩证统一趋势542

二 数学理论发展的“现代化”趋势550