《计算方法》

第一章近似数及其运算1

1 误差1

1.1 误差的来源1

1.2 绝对误差和绝对误差限3

1.3 相对误差和相对误差限3

1.4 有效数字4

2 近似数的算术运算及算法的数值稳定性7

2.1 算术运算法则7

2.2 算法的数值稳定性8

习题一14

第二章一元函数方程的解法16

1 初始近似根的确定16

2 二分法19

3 迭代法24

4 迭代过程的加速30

5 Newton法33

6 近似Newton法40

习题二42

第三章线性代数计算方法46

1 Gauss消去法47

1.1 顺序消去法47

1.2 主元素消去法53

2 Gauss-Jordan消去法59

3 解实三对角线性方程组的追赶法62

4 病态方程组66

5 矩阵的三角分解67

5.1 Gauss消去法与矩阵的初等变换67

5.2 矩阵三角分解的唯一性70

6 LU分解方法72

6.1 Crout分解方法73

6.2 Doolittle分解方法77

7 Cholesky分解方法78

7.1 正定矩阵的Cholesky分解78

7.2.1 LLt分解方法79

7.2 Cholesky分解方法79

7.2.2 LDLt分解方法81

8 迭代法84

8.1 简单迭代法84

8.2 Seidel迭代法86

9 迭代法的收敛性90

9.1 向量范数90

9.2 向量列的收敛性93

9.3 矩阵范数94

9.4 矩阵列和矩阵幂级数的收敛性98

9.5 简单迭代法的收敛性100

9.6 Seidel迭代法的收敛性104

9.7 方程组的变形106

10 求矩阵的特征值与特征向量107

10.1 乘幂法108

10.2 QR方法115

10.3 Jacobi方法121

习题三127

第四章插值法134

1 插值问题134

2 插值多项式的存在唯一性135

3 Lagrange插值多项式137

3.1 Lagrange插值多项式137

3.2 Lagrange插值多项式的余项140

4 Newton均差插值多项式142

4.1 均差142

4.2 Newton均差插值多项式145

4.3 均差的性质148

5 有限差和等距基点插值多项式149

5.1 有限差150

5.2 有限差算子的性质151

5.3 Newton前差和后差插值多项式153

5.3.1 均差与前差、后差的关系153

5.3.2 Newton前差和后差插值多项式154

5.3.3 前差表和后差表157

6.1 样条插值函数的定义及基本思想159

6 样条插值159

6.2 三次样条插值函数160

7 数值微分167

8 观测数据的最小二乘拟合172

8.1 基本概念172

8.2 观测数据的最小二乘拟合174

习题四180

第五章数值积分185

1 数值积分的基本思想及代数精确度186

2 Newton-Cotes公式189

2.1 一般的Newton-Cotes公式189

2.2 梯形公式190

2.3 Simpson公式191

3 复合求积公式193

3.1 复合梯形公式194

3.2 复合Simpson公式196

3.2.1 定步长复合Simpson公式196

3.2.2 变步长复合Simpson公式197

4.1 梯形值序列200

4 Romberg积分方法200

4.2 Simpson值序列201

4.3 Cotes值序列204

4.4 Romberg值序列205

4.5 Romberg积分方法小结206

习题五208

第六章常微分方程数值解法211

1.1 数值方法建立的基本思想212

1 数值方法建立的基本思想与途径212

1.2 建立数值方法的途径213

1.3 数值方法的阶215

2 一阶常微分方程初值问题的数值解法216

2.1 单步法219

2.2 多步法229

3 常微分方程组及高阶常微分方程数值解法249

3.1 常微分方程组简介249

3.2 单步法252

3.3 多步法257

4 边值问题的数值解法260

4.1 差分方程组的建立261

4.2 差分方程组的求解264

4.3 非线性常微分方程边值问题的差分方法265

习题六267

第七章最优化方法271

1 极值理论272

1.1 极值存在的充分与必要条件272

1.2 凸集与凸函数以及凸函数的极值273

2 常用的一维寻查方法276

2.1 Newton法与二分法278

2.2 Fibonacci法与0.618法281

2.3 寻查区间的确定和初始步长的选取292

3 最小二乘法297

3.1 最小二乘法297

3.2 改进的最小二乘法303

4 最速下降法305

4.1 最速下降方向和最速下降法305

4.1.1 最速下降方向305

4.1.2 最速下降法307

4.2 算法的下降性和最速下降法的收敛速度309

5 共轭斜量法312

5.1 二阶收敛性和共轭方向312

5.2 共轭斜量法316

5.3 共轭斜量法小结及框图321

6 变尺度方法323

6.1 变尺度方法的基本思想323

6.2 变尺度方法的近似矩阵H325

6.3 变尺度方法的计算步骤及框图328

7 单纯形方法330

7.1 单纯形方法的基本思想330

7.2 单纯形方法的计算过程334

习题七338