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第一篇1

线性微分算子的基本理论1

第一章　基本概念和命题1

§1．线性微分算子的定义及基本性质1

1．线性向量空间及线性算子的一般定义1

目录3

序3

2．线性微分表达式3

3．边界条件3

4．齐次边界问题5

5．拉格朗日（Lagrange）公式；共轭微分表达式6

6．共轭边界条件；共轭算子9

7．共轭边界问题12

§2．微分算子的特征值和特征函数13

1．特征值和特征函数的定义13

2．特征值问题的种种推广16

3．伴随函数17

4．共轭算子的特征值和特征函数之间的关系21

5．自共轭算子的特征值和特征函数22

6．特征值问题的例22

§3．线性微分算子的格林函数27

1．逆算子的一般定义27

2．微分算子的反演问题28

3．格林函数的构造29

4．微分算子借助于格林函数的反演30

5．共轭算子的格林函数33

6．含参数的边界问题化为积分方程34

7．算子L-λI的格林函数36

8．算子L-λI的格林函数的解析性质37

9．格林函数在重极点的情形40

第二章　特征值和特征函数的渐近性质；按微分算子的特征函数的展开式43

§4．当｜λ｜值甚大时，特征值和特征函数的展开式43

1．问题的提出43

2．域S和T44

3．化方程l（y）＋ρn（y）＝0为积分微分方程46

4．积分方程组的引理47

5．方程l（y）＋ρny＝0的解的渐近公式48

6．渐近公式的精确化53

7．边界条件的就范化56

8．正则边界条件56

9．特征值的渐近式61

10．特征函数的渐近式70

11．渐近公式的各种扩充74

§5．按特征函数的展开式75

1．富里埃方法的依据75

2．自共轭算子的情形76

3．按正则边界条件产生的微分算子的特征函数展开式78

4．分离的边界条件下特征函数的展开式；凯尔迪斯定理85

5．格林函数有重极点的情形；m重的完备性105

第三章　向量函数空间的微分算子108

§6．基本概念108

1．向量函数空间的线性微分表达式108

2．边界条件110

3．齐次算子方程110

4．齐次边界问题111

5．拉格朗日公式；共轭微分表达式112

6．共轭边界条件；共轭算子112

7．微分算子的特征值和特征函数114

8．一阶算子的情形116

§7．微分算子的格林函数118

1．微分算子的逆118

2．算子L-λI的格林函数119

3．算子L-λI的格林函数的解析性质120

§8．微分算子的特征值的渐近式121

1．问题的提出121

2．矩阵方程l（Y）＋ρnY＝0的解当｜ρ｜甚大时的渐近式122

3．边界条件的就范化123

4．正则边界条件123

5．特征值的渐近式124

1．自共轭微分算子的情形126

§9．按微分算子特征函数的展开式126

2．按正则边界条件所产生的微分算子的特征函数展开式127

第二篇133

希尔伯特空间中的线性微分算子133

第四章　希尔伯特空间中线性算子一般理论的某些知识133

§10．希尔伯特空间133

1．希尔伯特空间的定义133

2．？上的线性泛函137

3．有界算子138

4．投影算子138

与命题140

1．希尔伯特空间的直接和140

6．任意算子的运算140

§11．希尔伯特空间中线性算子理论的某些一般概念140

5．等距算子140

2．算子的图象141

3．闭算子；算子的闭包141

4．共轭算子142

§12．自共轭算子的谱分析145

1．谱函数145

2．谱函数的积分146

3．谱的基本定理148

5．用自共轭算子的谱函数描述它的谱149

4．约化149

§13．全连续算子152

1．紧集152

2．紧性判别准则152

3．全连续算子的定义与基本性质154

4．埃尔米特全连续算子的谱156

§14．对称算子的扩张157

1．问题的提出157

2．对称算子的亏子空间158

3．凯莱（Cayley）变换158

4．共轭算子的定义域161

5．诺玉曼（Neumann）公式163

6．按某一子空间为模的维数164

7．亏指数165

8．对称算子的对称扩张的描述166

9．对称算子自共轭扩张的谱169

10．两个子空间的张度171

11．半有界算子的扩张176

第五章　对称微分算子178

§15．基本概念178

1．自共轭微分表达式178

2．拟导数179

§16．广义线性微分方程180

3．拉格朗日公式180

1．向量函数空间的一阶方程181

2．方程l（y）＝f的解的存在性和唯一性定理184

3．齐次方程解的性质186

4．非齐次方程的解188

§17．自共轭微分表达式所产生的算子189

1．算子L189

2．算子L？190

3．正则情形下的算子L0191

4．奇异情形下的算子L0197

5．一个奇异端点的情形201

1．算子L0的自共轭扩展的描述203

§18．算子L0的自共轭扩展203

2．正则微分算子的边界条件208

3．有一奇异端点的、亏指数为（n，n）的算子的情形209

4．实扩展211

§19．算子L0的自共轭扩展的豫解式212

1．若干引理212

2．算子有正则端点时的情形214

3．算子有两个奇异端点的情形221

4．算子L0的自共轭扩展的谱的一般定理223

§20．自共轭算子谱的重数226

1．有简单谱的算子226

第六章　微分算子的谱分析226

2．空间L？和算子△σ227

3．有简单谱的自共轭算子的典则形式230

4．有有限重数的谱的算子231

5．相应于矩阵分布函数的空间L？和算子△σ231

6．有n重谱的自共轭算子的一般典则形式233

7．非正常的生成基234

§21．按特征函数的展开式236

1．定向泛函236

2．反演公式242

3．一个正则端点的情形259

4．谱分布函数公式263

5．例子268

第七章　微分算子的亏指数和谱对其系数性质的依赖性274

§22．当自变量值甚大时微分方程解的渐近性质274

1．一阶线性微分方程组的解的渐近性质274

2．2n阶线性微分方程解的渐近性质298

§23．微分算子的亏指数319

1．对系数Pn加一有界项后引起的变化319

2．§22定理7的应用319

3．§22定理8的应用320

4．§22定理9的应用322

5．§22定理10的应用331

6．二阶算子的亏指数332

§24．微分算子的谱的研究336

1．分解法的应用336

2．系数为可积函数的情形341

3．Pn（x）→＋∞的情形355

4．Pn（x）→－∞的情形357

5．二阶微分算子谱的离散性判别法368

6．量子力学中的例375

第八章　施图模-刘维尔反问题388

§25．正交化核389

1．正交化核的定义389

2．函数K1（x，t）的非线性积分方程392

3．函数K（x，y）的线性积分方程394

§26．施图模-刘维尔反问题的解397

1．对谱分布函数加的条件397

2．关于正交化核的线性积分方程的研究399

3．函数φ（χ，λ）及同它有关的巴塞华等式402

4．函数φ（χ，λ）的微分方程406

5．基本定理410

6．纯离散谱的情形411

7．基本定理的各种推广412

附录　斯蒂吉斯反演公式414

参考交献417