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一、数和数制1

一、数和数制1

1.数的分类1

(1) 整数1

(2) 有理数1

(3) 无理数1

(4) 实数1

(5) 复数1

2.数的运算律1

第一章 初等数学1

第一章 初等数学1

(3) 八进位制2

(4) 十六进位制2

(1) 十进位制2

(2) 二进位制2

3.数制2

4.实数运算3

5.数制转换6

(1) 十进位制与二进位制换算6

(2) 八进位制与十进位制换算6

(3) 十六进位制与十进位制换算6

(4) 二进位制与八进位制换算7

(5) 二进位制与十六进位制换算7

6.复数运算7

(1) 复数的模与辐角7

(2) 复数表示法8

(3) 复数运算8

(4) 德莫弗公式9

二 初等代数9

1.乘法和因式分解公式9

二、初等代数9

2.分式10

(1) 分式运算10

(2) 部分分式11

(2) 比例变换公式12

(1) 比例基本性质12

3.比例12

(3) 正比与反比13

4.根式13

(1) 算术根13

(2) 根式运算13

5.不等式14

(1) 不等式基本性质14

(2) 简单不等式14

(3) 绝对值不等式15

(4) 平均值不等式15

(5) 三角函数、指数函数、对数函数不等式16

(6) 重要不等式17

(1) 二阶行列式18

(2) 三阶行列式18

(3) 三阶行列式的对角线展开18

6.行列式18

7.代数方程19

(1) 一元二次方程19

(2) 一元三次方程19

(3) 一元四次方程20

(4) 一次方程组21

(2) 等比数列23

8.数列23

(1) 等差数列23

(3) 调和数列24

(4) 常用数列前n项和公式24

9.指数26

(1) 指数运算律26

(2) 指数值计算26

10.对数27

(1) 常用对数和自然对数27

(2) 对数性质27

(3) 对数运算法则27

(1) 阶乘28

(4) 对数换底公式28

(2) 排列28

(5) 对数值计算28

11.阶乘、排列与组合28

(3) 组合29

12.杨辉三角形与多项式定理29

(1) 二项式定理29

(2) 杨辉三角形30

三、初等几何30

三、初等几何30

1.三角形30

(1) 三角形元素30

(3) 多项式定理30

(2) 三角形元素计算31

(3) 三角形面积和重心计算32

2.四边形33

(1) 矩形33

(2) 正方形33

(3) 平行四边形33

(4) 菱形34

(5) 梯形34

(6) 任意四边形35

(7) 有外接圆的四边形35

(1) 正三角形36

3.正多边形36

(3) 正五边形37

(2) 正方形37

(4) 正六边形38

(5) 正n边形38

4.圆40

(1) 圆及其部分图形周长、面积和重心计算40

(2) 与圆有关的计算42

5.立体图形体积、表面积、侧面积和重心计算43

(1) 正方体43

(3) 三棱柱44

(4) 正六棱柱44

(2) 长方体44

(5) 正棱锥45

(6) 四面体45

(7) 棱台45

(8) 正棱台46

(9) 截头方锥体46

(10) 楔形46

(11) 圆柱体47

(12) 斜截圆柱体47

(13) 蹄状体48

(14) 圆锥体48

(15) 圆台49

(17) 半球体49

(16) 球体49

(18) 球扇形50

(19) 球冠50

(20) 球台51

四、平面三角51

1.弧度与度换算51

四、平面三角51

(1) 弧度与度换算51

(2) 度弪互化表52

(3) 特殊角度弪互化表59

2.三角函数59

3.三角函数基本关系式60

(1) 基本关系式60

(2) 锐角三角函数关系式60

4.诱导公式60

5.特殊角三角函数值62

6.加法公式64

7.和差化积与积化和差公式64

(1) 和差化积公式64

(2) 积化和差公式65

8.倍角与半角公式66

(1) 倍角公式66

(2) 半角公式67

9.降幂公式68

11.反三角函数关系式69

10.反三角函数69

12.反三角函数基本公式70

13.三角形基本定理72

(1) 正弦定理72

(2) 余弦定理72

(3) 勾股定理72

(4) 正切定理73

(5) 面积公式73

(6) 半角公式73

(7) 解斜三角形74

1.球面几何75

五、球面三角75

(1) 大圆75

五、球面三角75

(2) 反三角函数值计算75

14.三角函数值和反三角函数值计算75

(1) 三角函数值计算75

(2) 测地线76

(3) 大圆弧长76

(4) 球面角76

(5) 球面三角形76

(6) 球面角超76

(7) 球面三角形面积76

(1) 正弦定理77

(2) 余弦定理77

(3) 余切定理77

(4) 正切定理77

(5) 五元素公式77

(6) 半边公式77

2.球面三角形基本定理77

(7) 半角公式78

(8) 其他公式78

3.解球面三角形79

(1) 解球面直角三角形79

(2) 解一般球面三角形80

第二章 解析几何84

一、平面解析几何84

1.平面坐标84

(1) 坐标系84

第二章 解析几何84

一、平面解析几何84

(2) 坐标变换85

2.平面解析几何基本计算86

(1) 两点间距离86

(2) 定比分割86

3.直线87

(3) 面积87

(1) 直线方程87

(2) 点线关系90

4.二次曲线92

(1) 圆92

(2) 椭圆94

(3) 双曲线98

(4) 抛物线103

(1) 二次曲线分类106

5.一般二次曲线106

(2) 二次曲线方程变换108

6.其他平面曲线109

(3) 圆锥截线109

二、空间解析几何128

1.空间坐标系128

(1) 坐标系128

二、空间解析几何128

(2) 坐标变换130

(2) 方向余弦131

(1) 两点间距离131

2.空间解析几何基本计算131

(3) 定比分割132

(4) 四面体体积133

3 空间平面方程133

(1) 点法式133

(2) 截距式133

(3) 三点式134

(4) 法线式134

(5) 一般式134

(6) 过两点与一直线平行的平面135

(7) 过一点与两直线平行的平面135

(8) 过一点与一直线垂直的平面135

(9) 过两平面交线的平面135

(10) 参数式136

(11) 向量式136

4.空间直线方程136

(1) 一般式136

(5) 过一点和一平面垂直的直线137

(6) 向量式137

(2) 标准式137

(4) 两点式137

(3) 参数式137

5.点线面关系138

(1) 点线距离138

(2) 点面距离138

(3) 不平行直线的距离138

(6) 两直线夹角139

(4) 线面距离139

(5) 平行平面间距离139

(7) 两平面夹角140

(8) 线面夹角140

(9) 直线与平面平行或垂直条件140

(10) 两直线共面条件141

(11) 三平面共线条件141

(12) 三平面交点141

6.二次曲面142

(1) 球面142

(14) 四点共面条件142

(13) 四平面共点条件142

(2) 其他二次曲面144

7.一般曲面148

(1) 一般曲面方程148

(2) 旋转曲面148

(3) 一般柱面151

8.空间曲线151

(1) 空间曲线方程151

(3) 投影柱面和投影曲线152

(2) 常用空间曲线152

9.常用空间曲面复合153

(1) 函数164

一、一元函数微分学164

(2) 初等函数164

第三章 微分学164

第三章 微分学164

一、一元函数微分学164

1.函数164

(3) 其他函数174

2.极限179

(1) 数列极限179

(2) 函数极限179

(3) 极限存在准则180

(4) 无穷小180

(5) 极限运算法则181

(6) 重要函数极限181

3.连续183

(1) 闭区间上连续函数183

(2) 函数间断点183

(3) 求导法则184

(1) 导数184

(2) 导数几何意义184

4.导数与微分184

(4) 求导基本公式185

(5) 高阶导数186

(6) 微分188

(7) 中值定理与洛必达法则189

(8) 导数与微分应用192

二、多元函数分学197

1.多元函数197

(1) 二元函数197

二、多元函数微分学197

(2) n元函数197

2.偏导数198

(1) 偏导数198

(2) 偏导数几何意义198

(3) 求偏导数方法198

3.全微分198

(1) 全微分199

(2) 全微分几何意义199

4.复合函数微分199

5.齐次函数与欧拉公式200

6.隐函数微分200

7.高阶偏导数与高阶全微分201

(1) 高阶偏导数201

(2) 高阶全微分202

8.方向导数202

9.泰勒公式202

10.应用203

(1) 曲线切线和法平面204

(2) 曲面切平面和法线204

(3) 二元函数极值205

(4) 条件极值205

(1) 原函数与不定积分207

一、一元函数积分学207

(2) 不定积分运算法则207

第四章 积分学207

一、一元函数积分学207

第四章 积分学207

1.不定积分207

(3) 函数积分方法208

(1) 定积分209

2.定积分209

(2) 定积分几何意义210

(3) 定积分性质210

(4) 中值定理211

(5) 积分不等式211

(1) 含参变理积分212

(2) 求导公式212

3.含参变量积分212

(1) 牛顿-莱布尼兹公式213

(2) 凑微分法213

(3) 换元积分法213

(4) 分部积分法213

(5) 奇偶函数积分213

(6) 周期函数积分213

4.定积分计算213

(2) 审敛法214

(1) 广义积分214

5.广义积分214

6.不定积分表215

(1) 简单积分公式215

(2) 含有理式a+bx的积分公式216

(3) 含有理式a±bx2(a,b>0)的积分公式218

(4) 含根式？的积分公式219

(5) 含根式？的积分公式222

(6) 含根式？的积分公式224

(7) 含有理式a+bx±cx2(c>0)的积分公式225

(8) 含根式？(c>0)的积分公式226

(9) 含其他根式的积分公式228

(11) 含三角函数的积分公式231

(10) 含有理式a4±x4的积分公式231

(12) 含三角函数与其他函数乘积的积分公式236

(13) 含反三角函数的积分公式237

(14) 含指函数与对数函数的积分公式238

(15) 含双曲函数的积分公式240

7.定积分表242

8.其他积分公式248

二、多元函数积分学249

二、多元函数积分学249

(1) 二重积分249

1.二重积分249

(2) 直角坐标系下的积分250

(3) 极坐标系下的积分251

(4) 变量代换公式252

(1) 三重积分252

(2) 直角坐标系下的积分252

2.三重积分252

(3) 柱面坐标下的积分253

(4) 球面坐标下的积分253

(5) 变量代换公式254

3.多重积分255

(1) 多重积分计算255

(2) 变量代换公式255

4.曲线积分255

(1) 第一类(对弧长)曲线积分255

(2) 第二类(对坐标)曲线积分257

(4) 曲线积分性质258

(3) 两类曲线积分关系258

(6) 曲线积分等价命题259

(7) 牛顿-莱布尼兹公式推广259

(5) 格林公式259

5.曲面积分260

(1) 第一类曲面积分260

(2) 第二类曲面积分261

(3) 两类曲面积分关系262

(4) 曲面积分性质262

(5) 高斯公式263

(6) 斯托克斯公式263

(7) 曲面积分等价命题264

(8) 牛顿-莱布尼兹公式推广264

三、积分应用264

1.平面图形面积计算264

三、积分应用264

2.曲面面积计算266

4.体积计算268

(1) 平面曲线弧长计算268

3.曲线弧长计算268

(2) 空间曲线弧长计算268

5.路程计算269

6.功计算269

7.流体压力计算270

8.质心计算270

(1) 平面曲线质心计算270

(2) 空间曲线质心计算272

(3) 平面封闭图形质心计算272

(4) 立体图形质心计算273

(1) 平面曲线转动惯量计算274

(2) 空间曲线转动惯量计算274

(3) 平面封闭图形转动惯量计算274

(4) 立体图形转动惯量计算274

9.转动惯量计算274

8.函数项级数276

7.级数余和276

一、级数基本概念276

6.级数发散276

第五章 级数276

1.级数276

2.级数一般项276

5.级数收敛276

4.级数和276

第五章 级数276

一、级数基本概念276

3.级数部分和276

二、级数基本性质与审敛法277

2.行列式相乘277

二、级数基本性质与审敛法277

1.级数基本性质277

5.两个重要级数278

(1) 等比级数278

(2) P-级数278

6.正项级数审敛法278

(1) 比较审敛法278

2.级数收敛必要条件278

4.正项级数收敛充要条件278

3.级数收敛充要条件278

(5) 根值审敛法279

(6) 拉阿伯审敛法279

(4) 比值审敛法279

(3) 极限审敛法279

(2) 极限形式比较审敛法279

(8) 伯尔特朗审敛法280

(7) 库麦尔审敛法280

(10) 柯西积分审敛法280

(9) 高斯审敛法280

7.交错级数审敛法281

(1) 交错级数281

(2) 交错级数审敛法281

8.任意项级数审敛法281

(1) 任意项级数281

(2) 绝对收敛与条件收敛281

(3) 绝对收敛级数性质281

三、幂级数282

三、幂级数282

(4) 任意项级数审敛法282

1.幂级数282

2.幂级数收敛半径与收敛区间282

(1) 幂级数四则运算283

(1) 阿贝尔定理283

3.幂级数运算283

(2) 幂级数收敛半径与收敛区间283

(2) 幂级数分析运算284

4.泰勒级数285

(1) 泰勒级数285

(2) 函数f(x)的泰勒级数展开式285

(3) 麦克劳林级数285

(4) 函数f(x)的麦克劳林级数展开式286

5.常用函数的幂级数展开式286

四、傅立叶级数291

四、傅立叶级数291

1.三角函数系的正交性291

2.三角级数292

(1) 周期2π函数的傅立叶级数292

3.傅立叶级数292

4.傅立叶级数审敛法293

(2) 周期2ι函数的傅立叶级数293

5.傅立叶级数展开式294

(1) 周期2π函数的傅立叶级数展开式294

(2) 周期2ι函数的傅立叶级数展开式294

(3) 其他函数的傅立叶级数展开式295

6.常用傅立叶级数展开式295

7.常用三角级数和306

8.常用数项级数和307

五、无穷乘积310

1.无穷乘积310

五、无穷乘积310

2.无穷乘积审敛法311

4.无穷乘积展开式312

3.无穷乘积的绝对收敛312

一、向量代数314

第六章 向量算法与场论314

(6) 向量坐标314

一、向量代数314

1.向量314

第六章 向量算法与场论314

(1) 向量314

(2) 向量长度314

(3) 零向量314

(4) 单位向量314

(5) 向量的方向角与方向余弦314

(7) 向径315

(8) 空间线段的向量表示315

2.向量运算315

(1) 向量加法315

(4) 数量积316

(2) 向量减法316

(3) 向量的数乘316

(5) 向量积317

(6) 数量三重积(混合积)318

(7) 向量三重积318

(8) 多重积318

二、向量分析319

(1) 坐标表达式319

2.向量微分319

(2) 矢端曲线319

1.向量函数319

二、向量分析319

(2) 向量函数求导法则320

(1) 向量函数的导数320

3.向量积分321

(3) 向量函数性质321

(1) 向量函数不定积分321

(3) 向量函数重积分322

(2) 向量函数定积分322

(4) 向量函数曲线积分323

(5) 向量函数曲面积分323

2.数量场梯度324

(2) 数量场梯度性质324

(1) 数量场梯度324

三、场论324

(2) 向量场324

(1) 数量场324

1.数量场与向量场324

三、场论324

(3) 数量场梯度计算325

3.向量场散度325

(1) 向量场通量325

(2) 向量场散度326

4.向量场旋度327

(1) 向量场环量327

(2) 向量场环量面密度327

(3) 向量场旋度328

(2) 管形场329

(1) 有势场329

5.重要向量场329

(3) 调和场330

6.哈密尔顿算子及其应用330

(1) 哈密尔顿算子330

(2) 哈密尔顿算子应用330

7.梯度、散度、旋度与调和量的柱坐标、球坐标表达式331

(1) 柱坐标表达式331

(2) 球坐标表达式332

一、常微分方程334

第七章 微分方程334

一、常微分方程334

(6) 初始条件与初值问题334

(5) 微分方程的特解334

(3) 微分方程的解334

(4) 微分方程的通解334

1.常微分方程基本概念334

(1) 常微分方程334

第七章 微分方程334

(2) 微分方程的阶334

2.一阶微分方程335

(3) 能化为可分离变量型或齐次型的方程335

(1) 可分离变量微分方程335

(2) 齐次方程335

(4) 线性微分方程336

(5) 伯努利方程336

(6) 全微分方程337

(7) 含积分因子的方程337

(8) 可将y解出的方程339

(9) 可将x解出的方程339

(10) 拉格朗日方程340

(12) 黎卡提方程340

(11) 克莱洛方程340

(1) 缺未知函数y型的方程341

3.二阶微分方程341

(2) 缺自变量x型的方程342

(3) 线性微分方程343

(4) 其他方程343

(12) t分布344

4.线性微分方程345

(1) 函数线性相关345

(2) 线性微分方程解的结构345

(3) 一阶线性方程346

(4) 二阶线性方程347

(5) 常系数线性方程348

(6) 算子解法352

(1) 二阶微分方程与一阶微分方程组互化356

5.微分方程组356

(2) 线性微分方程组357

(3) 常系数线性微分方程组358

(4) 定解条件363

(5) 定解问题363

二、偏微分方程363

2.一阶偏微分方程363

(3) 偏微分方程的解363

(2) 偏微分方程的阶363

(1) 偏微分方程363

1.偏微分方程的基本概念363

二、偏微分方程363

(1) 一般解与完全解364

(2) 特征方程与初积分364

(3) 一阶偏微分方程364

(4) 一阶偏微分方程标准型365

3.二阶常系数线性偏微分方程367

(1) 双曲型方程368

(2) 抛物型方程371

(3) 椭圆型方程373

第八章 线性代数375

一、行列式375

1.行列式性质375

一、行列式375

第八章 线性代数375

(1) 余子式与代数余子式377

3.行列式展开377

(3) 拉普拉斯展开378

4.重要行列式378

(2) 按行(列)展开378

(1) 对角行列式378

(2) 下三角行列式379

(3) 范德蒙行列式379

(4) 倒数对称行列式379

二、矩阵380

二、矩阵380

(2) 单位阵(么阵)380

1.重要矩阵380

(3) 对角阵380

(1) 零阵380

(4) 上(下)三角阵381

(5) 行阵与列阵381

2.矩阵运算381

(1) 矩阵相等381

(2) 矩阵加减法381

(4) 矩阵乘法382

(5) 矩阵运算律382

(3) 矩阵数乘382

4.共轭矩阵383

3.转置矩阵383

5.分块矩阵384

6.矩阵行列式385

(1) 矩阵初等变换386

(2) 初等矩阵386

7.矩阵初等变换和初等矩阵386

8.矩阵的秩387

(1) 矩阵的秩387

(2) 矩阵的秩的计算387

(3) 初等矩阵性质387

9.逆矩阵388

(1) 逆矩阵性质388

(2) 矩阵可逆的充要条件388

(3) 求逆矩阵方法388

(3) 方阵与对称矩阵和反对称矩阵391

(1) 埃尔米特矩阵391

11.埃尔米特矩阵和反埃尔米特矩阵391

(1) 对称阵391

(2) 反对称阵391

10.对称阵和反对称阵391

(2) 反埃尔米特矩阵392

12.正定矩阵与负定矩阵392

(1) 正定矩阵392

(2) 半正定矩阵392

(3) 负定矩阵392

(4) 半负定矩阵392

13.正交矩阵393

14.酉矩阵393

15.相似矩阵393

16.合同矩阵394

17.克罗内克尔乘积394

18.矩阵分析运算395

(1) 矩阵导数395

(1) 齐次线性方程组396

1.线性方程组的矩阵形式396

三、线性方程组396

19.矩阵的迹396

(2) 矩阵积分396

三、线性方程组396

(2) 非齐次线性方程组397

2.方程组的解397

(1) 齐次线性方程组的解397

(2) 非齐次线性方程组的解398

3.线性方程组的解法399

(1) 克莱姆法则399

(2) 逆矩阵法399

(4) 初等变换法399

(3) 消元法399

1.n维向量400

(2) n维向量向量加减法400

四、n维向量空间400

(4) n维向量运算律400

(3) 数乘n维向量400

四、n维向量空间400

(1) n维向量相等400

2.n维向量运算400

(2) 线性相关与线性无关401

(3) 线性相关判定401

(1) 线性组合401

向量组线性相关401

4.等价向量组402

5.极大线性无关向量组402

6.向量组的秩403

8.基、维数和坐标403

7.n维向量空间403

五、线性空间404

五、线性空间404

1.数域P上的线性空间V404

(1) 线性空间404

(2) 线性空间的基本性质404

(3) 线性相关与线性无关405

(4) 基与维数405

(5) 坐标405

(1) 基变换406

3.基变换与坐标变换406

2.常用线性空间406

(2) 坐标变换407

4.子空间及其运算407

(1) 线性子空间407

(2) 子空间的交与和408

(3) 子空间的直和408

5.线性空间同构409

(1) 欧氏空间410

(2) 酉空间410

六、欧氏空间和酉空间410

六、欧氏空间与酉空间410

1.欧氏空间与酉空间410

(2) 正交规范化-格兰姆-施密特法411

(3) 标准正交基411

(1) 正交向量组411

2.标准正交基411

3.欧氏子空间与酉子空间的正交补412

4.欧氏空间与酉空间的同构412

七、线性变换413

1.线性变换413

2.线性变换运算413

(1) 加法413

(2) 数乘413

七、线性变换413

(3) 乘法414

3.零变换、单位变换与逆变换414

(1) 零变换414

(2) 单位变换414

(3) 逆变换414

(4) 乘幂与多项式414

4.线性变换的矩阵415

5.特征值和特征向量416

(1) 特征值和特征向量416

(2) 特征矩阵，特征多项式和特征方程416

(3) 特征值与特征向量的性质417

(4) 求特征值和特征向量方法417

6.矩阵的对角形418

(1) λ矩阵的初等变换418

2.λ矩阵的初等变换和标准形418

1.λ矩阵418

八 若当标准形418

(2) λ矩阵的标准形418

(5) 哈密尔顿-凯莱定理418

八、若当标准形418

(1) 行列式因子419

(2) 不变因子419

3.不变因子和初等因子419

(3) 初等因子419

4.矩阵相似条件420

(1) 若当块和若当标准形420

5.若当标准形420

九、二次型421

(2) 方阵标准化421

九、二次型421

1.二次型421

2.二次型标准形和规范形422

(1) 二次型标准形422

(2) 二次型规范形422

(3) 化二次型为标准形422

3.正定二次型423

(1) 正定、半正定、负定、半负定和不定型423

(2) 判定法423

1.事件与概率425

(2) 事件运算425

(1) 随机事件425

一、概率论425

一、概率论425

第九章 概率论与数理统计425

第九章 概率论与数理统计425

(3) 等可能事件和基本事件426

(4) 概率426

(5) 概率运算427

2.随机变量及分布429

(1) 一维随机变量429

(2) 一维分布函数430

(3) 一维离散型分布430

(4) 一维连续型分布430

(5) 随机变量的函数的分布431

(6) 二维随机变量及分布431

(7) 二维离散型分布432

(8) 二维连续型分布433

(9) 边缘分布与条件分布433

(10) 多维随机变量及分布435

3.随机变量的数字特征435

(1) 数学期望435

(2) 方差436

(3) 协方差与相关系数436

(4) 数学期望与方差的运算公式437

(5) 切比雪夫不等式437

(6) 原点矩、中心矩与协方差矩阵438

(2) 二项分布439

(3) 泊松分布439

4.常用概率分布439

(1)0-1分布439

(4) 几何分布440

(5) 超几何分布440

(6) 均匀分布441

(7) 指数分布441

(8) 正态分布441

(9) 标准正态分布442

(10) 瑞利分布442

(11) x2分布443

(14) 柯西分布444

(13) F分布444

(16) 特殊随机变量函数的分布445

(15) 威布尔分布445

5.大数定律和中心极限定理447

(1) 大数定律447

(2) 中心极限定理448

(3) 样本标准差450

二、数理统计450

(6) 样本变异系数450

(5) 样本k阶中心矩450

(4) 样本k阶原点矩450

(2) 样本方差450

(1) 样本均值450

1.样本数字特征450

二、数理统计450

(7) 样本偏态系数451

(8) 样本峰态系数451

(9) 样本中位数451

(10) 样本均差451

(11) 样本极差451

2.参数点估计451

(1) 矩法451

(2) 顺序统计量法451

(3) 极大似然估计法452

(4) 估计量评价标准453

3.参数区间估计453

(1) 置信区间与置信度453

(2) 单个总体均值与方差区间估计453

(3) 两个正态总体均值差估计454

(4) 方差比的置信区间455

(5) 0-1分布参数区间估计455

4.假设检验456

(2) t检验456

(1) 假设检验的一般步骤456

(3) F检验458

(4) x2检验459

5.方差分析460

(1) 单因素方差分析460

(2) 双因素方差分析463

6.回归分析468

(1) 最小二乘法原理468

(2) 一元线性回归469

(3) 多元线性回归474

(1) 区域478

第十章 复变函数478

一、解析函数478

1.复变函数478

第十章 复变函数478

一、解析函数478

(3) 映射479

(4) 极限479

(2) 复变函数479

(5) 连续480

2. 解析函数480

(1) 复变函数的导数480

(2) 解析函数480

(3) 柯西-曼条件481

(4) 调和函数481

3.幂函数482

二、初等函数482

1.指数函数482

2.对数函数482

二、初等函数482

4.三角函数483

(1) 正弦函数483

(2) 余弦函数483

(3) 正切函数483

(4) 余切函数483

5.双曲函数484

(1) 双曲正弦函数484

(2) 双曲余弦函数484

(3) 双曲正切函数484

6.反三角函数与反双曲函数485

(1) 反三角函数485

(2) 反双曲函数485

三、复变函数积分486

2. 积分存在条件及计算486

1.复变函数积分486

三、复变函数积分486

3.积分的性质487

4.解析函数的积分487

(1) 柯西定理487

(2) 莫累拉定理487

(3) 积分上限函数488

(4) 不定积分488

(5) 积分计算公式488

(6) 柯西积分公式489

(7) 最大模原理489

(8) 高阶导数公式489

(1) 数列的极限490

四、泰勒级数490

1.复数项级数490

四、泰勒级数490

(2) 复数项级数490

(1) 复变函数项级数491

(2) 幂级数491

2.幂级数491

(3) 收敛半径与收敛圆492

3.泰勒级数492

(1) 泰勒级数展开定理492

(2) 解析函数的零点493

(3) 常用初等函数的泰勒级数展开式493

1.罗朗级数展开定理494

2.孤立寄点494

五、罗朗级数494

五、罗朗级数494

(1) 可去奇点495

(2) 极点495

(3) 本性寄点495

3.函数的零点与极点的关系495

六、留数495

1.留数495

六、留数495

2.留数定理496

3.孤立奇点的留数计算496

4.留数计算积分496

(1) ？型积分496

(2) ？型积分497

5.对数留数和辐角原理497

(1) 对数留数497

(2) 辐角原理497

(1) 保角性498

(3) 保角映射498

(2) 伸缩率不变性498

七、保角映射498

七、保角映射498

1.保角映射498

2.分式线性映射499

(1) 最简分式线性映射499

(2) 分式线性映射500

(3) 分式线性映射唯一的条件500

(4) 特殊情况的分式线性映射501

3.初等函数构成的映射501

(1) 幂函数501

(2) 指数函数502

4.常用域的保角映射503

(3) 儒可夫斯基函数503

(1) 傅立叶积分定理514

第十一章 积分变换514

(2) 傅立叶积分的三角形式514

1.傅立叶积分514

一、傅立叶变换514

一、傅立叶变换514

第十一章 积分变换514

2.傅立叶变换515

3.傅立叶变换的性质515

(1) 线性性质515

(3) 微分性质516

(4) 积分性质516

(2) 位移性质516

(5) 相似性质517

(6) 乘积定理517

(7) 能量积分517

4.卷积与相关函数517

(1) 卷积及其运算律517

(2) 卷积定理518

(3) 相关函数518

(4) 能量谱密度与相关函数518

5.傅立叶变换表519

(1) 拉普拉斯变换与逆变换537

(1) 线性性质537

2.拉普拉斯变换的性质537

(2) 拉普拉斯变换存在定理537

二、拉普拉斯变换537

二、拉普拉斯变换537

1.拉普拉斯变换537

(2) 微分性质538

(3) 积分性质538

(4) 位移性质539

(5) 延迟性质539

(6) 相似性质539

(7) 初值定理与终值定理539

3.卷积540

(1) 卷积及其运算律540

(2) 卷积定理540

4.拉普拉斯逆变换541

(1) 拉普拉斯逆变换541

(2) 用留数计算反演积分541

5.拉普拉斯变换表542

一、Γ函数550

一、Γ函数550

1.Γ函数550

2.Γ函数公式550

第十二章 特殊函数550

第十二章 特殊函数550

3. 可化为Γ函数的积分551

4.Γ函数渐近表达式552

二、β函数553

二、β函数553

1.β函数553

2.β函数与Γ函数关系553

3.β函数公式553

4.可化为β函数的积分554

三、贝塞尔函数555

1.贝寒尔函数表达式555

(1) 第一类贝塞尔函数555

三、贝塞尔函数555

(3) 第三类贝塞尔函数556

(1) 第一类贝塞尔函数公式556

2.贝塞尔函数公式556

(2) 第二类贝塞尔函数556

(2) 第二类贝塞尔函数公式557

(3) 第三类贝塞尔函数公式557

3.第一类贝塞尔函数正交性558

4.函数展开558

四.勒让德多项式559

1.勒让德多项式559

四、勒让德多项式559

3.勒让德多项式正交性560

2.勒让德多项式公式560

4.函数展开560

3.切比雪夫多项式正交性561

2.切比雪夫多项式一些公式561

1.切比雪夫多项式561

五、切比雪夫多项式561

五、切比雪夫多项式561

六、椭圆积分562

六、椭圆积分562

1.椭圆积分562

2.椭圆积分标准形式562

3.椭圆函数563

4.椭圆积分公式563

1.泛函565

第十三章 变分法566

第十三章 变分法566

一、泛函变分和泛函极值566

2.函数变分566

一、泛函变分和泛函极值566

4.泛函极值567

二、固定边界的泛函极值、欧拉方程567

二、固定边界的函数极值、欧拉方程567

1.？型泛函567

(1) 欧拉方程567

(2) 欧拉方程的几种特殊情况567

3.泛函变分568

(3) 欧拉方程的极坐标形式568

2.？型泛函568

6.用参数表示的泛函569

3.？型泛函569

4.？型泛函569

5.？型泛函569

1.？型泛函570

三、可动边界的泛函极值570

三、可动边界的泛函极值570

2.？型泛函571

四、条件极值的变分572

3.？型泛函572

四、条件极值的变分572

1.拉格朗日乘数法572

2.等周问题573

五、变分直接解法574

五、变分直接解法574

1.欧拉有限差分法574

2.里兹法575

3.康脱洛维奇法576

第十四章 微分几何577

一、曲线论577

1.空间曲线参数方程577

第十四章 微分几何577

一、曲线论577

2.单位向量和伴随三棱形577

(1) 切向量578

(2) 主法向量和副法向量578

(3) 伴随三棱形578

3.伴随三棱形所在的直线和平面的方程579

(1) 切线、主法线和副法线579

(2) 密切平面：法平面和从切平面580

(1) 空间曲线的曲率581

4.空间曲线的曲率和挠率581

(2) 空间曲线的挠率582

5.弗雷纳公式582

(1) 弗雷纳公式582

(2) 弗雷纳公式在运动学中的意义582

(3) 空间曲线在一点邻近的性质583

6.曲线论基本定理与自然方程585

(1) 基本定理585

(2) 自然方程585

7.空间曲线的渐开线与渐屈线586

(1) 空间曲线的渐开线与渐屈线586

(2) 渐开线方程586

(3) 渐屈线方程586

二、曲面论586

1.空间曲面方程586

二、曲面论586

2.空间曲面的切平面与法线587

3.螺旋面587

(1) 一般螺旋面587

(2) 正螺旋面587

(1) 直纹面589

(2) 可展曲面589

4.直纹面与可展曲面589

(3) 单参数平面族的包络590

5.曲面第一基本形式590

(1) 曲面第一基本形式和第一基本量590

(2) 曲面上曲线弧长592

(3) 曲线的交角592

(4) 曲面上两曲面面积592

(5) 等距变换592

(6) 保角变换593

6.曲面第二基本形式593

(1) 曲面第二基本形式和第二基本量593

(2) 法截线与法曲率593

(3) 梅尼埃公式和梅尼埃定理595

7.主曲率、总曲率和平均曲率596

(1) 主方向和主曲率596

(2) 脐点596

(3) 主方向判别定理596

(4) 曲率线和欧拉公式597

(5) 总曲率和平均曲率598

(1) 渐近方向与渐近曲线599

9.渐近曲线、共轭曲线和极小曲面599

(2) 三种基本形式间关系599

(1) 曲面第三基本形式和第三基本量599

8.曲面第三基本形式599

(2) 共轭方向和共轭曲线网600

(3) 极小曲面600

10.曲面论的基本公式与基本定理600

(1) 本基公式600

(2) 高斯方程与柯达奇方程601

(3) 曲面论的基本定理602

11.曲面曲线的测地曲率、测地线和测地坐标602

(1) 测地曲率602

(2) 测地线603

(3) 测地坐标603

(4) 高斯-波恩涅公式603

(2) 观测误差605

(1) 绝对误差605

2.误差与有效数字605

(4) 舍入误差605

(3) 截断误差605

第十五章 计算方法605

(1) 模型误差605

1.误差分类605

一、误差605

第十五章 计算方法605

一、误差605

(2) 相对误差606

(3) 有效数字606

3.近似计算法则607

(1) 加减法则607

(2) 乘除法则607

(3) 乘方或开方法则607

二、方程近似根607

4.预定精确度的计位法则607

二、方程近似根607

1.二分法608

2.迭代法609

3.牛顿法609

4.弦截法610

三、插值611

三、插值611

1.不等距节点差商插值公式612

2.等距节点差分插值公式613

(1) 差分613

(2) 牛顿向前差分插值公式615

(3) 牛顿向后差分插值公式616

(4) 斯特林插值公式616

(5) 贝塞尔插值公式617

3.拉格朗日插值公式618

4.三次样条函数插值618

四、数值导数620

1.差商求导620

2.用函数插值公式求导620

(1) 不等距节点求导公式620

四、数值导数620

(2) 等距节点求导公式621

(3) 拉格朗日公式621

(4) 用三次样条函数求导622

五、数值积分623

五、数值积分623

1.矩形公式623

2.梯形公式623

3.辛卜生公式624

4.柯特斯公式624

5.龙贝公式625

6.高斯型求积公式626

(1) 高斯-勒让德求积公式626

(2) 高斯-切比雪夫求积公式627

六、常微分方程数值解628

六、常微分方程数值解628

1.一阶微分方程初值问题628

(1) 欧拉方法628

(2) 改进的欧拉方法628

(3) 龙格-库塔方法629

(4) 阿达姆斯方法629

2.一阶微分方程组初值问题630

(1) 改进的欧拉方法630

(2) 龙格-库塔方法631

(3) 阿达坶斯方法631

3.二阶微分方程初值问题632

(1) 龙格-库塔方法633

(2) 阿达姆斯方法633

(1) 第一边值问题634

4.二阶线性微分方程边值问题634

(2) 第二边值问题635

第十六章 最优化方法636

一、单变量的问题最优化方法636

第十六章 最优化方法636

一、单变量最优化方法636

1.平分法636

2.0.618法637

3.分数法639

4.抛物线法639

5.微分法639

二、多变量问题的最优化方法640

1.坐标轮换法640

二、多变量的问题最优化方法640

3.瞎子爬山法641

2.平行线法641

4.陡度法642

5.联合法643

6.对角线法643

7.步长加速法644

8.共轭方向法644

9.方向步长双加速法645

10.最速下降法647

11.牛顿法648

12.共轭梯度法649

三、线性规划650

三、线性规则650

1.线性规划问题650

13.变尺度法650

2.可行解、最优解、基变量和基本可行解652

3.单纯形法653

(1) 单纯形表653

(2) 单纯形法计算654

四、网络最优化656

1.最短路问题656

(1) Dijkstra标号算法656

四、网络最优化656

(2) 两点间的最短路算法657

2.最大流问题657

(1) 可行流和最大流657

(2) 寻求最大流的标号法658

(3) 寻求最大流的正反向标号法659

3.最小费用流问题660

(1) 最小费用流660

(2) 增广回路与最小费用流计算660

(3) 最小费用最大流661

五、最大值原理663

五、最大值原理663

1.连续系统的最大值原理663

(1) 连续系统的最大值原理663

(2) 求解步骤664

2.离散系统的最大值原理666

(1) 离散系统的最大值原理666

(2) 求解步骤667

第十七章 离散数学668

一、集合和命题668

1.离散对象668

2.集合668

(1) 集合668

(2) 集合表示方法668

(3) 子集668

第十七章 离散数学668

一、集合和命题668

(4) 集合相等669

(5) 集合组合669

3.集合运算669

4.有限集、无限集和集合基数670

(1) 集合N670

(3) 无限集671

(2) 有限集671

(4) 多重集672

5.数学归纳法672

6.包含与排斥原则672

7.命题及其组合672

(1) 命题672

(2) 命题组合673

二、关系和函数674

1.二元关系和n元关系674

(1) 有序对674

二、关系和函数674

(2) 笛卡儿积674

(3) 二元关系674

(4) 二元关系表示法675

(5) n元关系675

(1) 关系数据模型676

(2) 表676

(3) 表的运算676

2.数据库的关系模型676

3.二元关系性质676

(1) A上的二元关系676

(6) 传递扩张677

(5) 传递关系677

(4) 反对称关系677

(7) 传递闭包677

4.等价关系与划分677

(1) 等价关系677

(2) 划分677

(3) 对称关系677

(2) 自反关系677

(3) 等价关系和划分之间的关系678

5.偏序关系与格678

(1) 偏序关系678

(2) 偏序集678

(4) 反链679

(5) 全序集和全序关系679

(6) 极大元与极小元679

(3) 链679

(7) 复盖679

(8) 上界、最小上界、下界与最大下界679

(9) 格680

(10) 链与反链的关系680

6.函数与鸽舍原理680

(1) 函数680

(2) 函数表示680

(3) 到上函数681

(4) 鸽舍原理681

三、离散数函数和生成函数682

1.数函数682

(1) 数函数682

(2) 数函数的和与积682

三、离散数函数和生成函数682

(3) 数函数的变形682

(6) 前向差分与后向差分683

(5) 累加和683

(7) 卷积683

2.生成函数683

(1) 生成函数683

(4) 数函数Sia与S-ia683

(2) 生成函数的运算684

3.生成函数的应用685

四、递推关系685

1.递推关系685

四、递推关系685

3.常系数线性差分方程686

2.常系数线性递推关系686

(1) 通解结构686

(2) 特征方程687

(3) 差分方程的特解687

(4) 差分方程齐次解中待定系数的确定688

4.用差分方程求数函数的生成函数688

五、布尔代数689

1.代数系统689

五、布尔代数689

2.对偶原理690

3.由格定义的代数系统的基本性质690

(3) 泛下界和泛上界691

(2) 分配等价性691

(4) 幺元与零元性质691

(1) 分配格691

4.分配格和有补格691

(2) 布尔代数692

(1) 布尔格692

(3) 德·摩根定律692

(4) 复盖与原子692

5.布尔格与布尔代数692

(6) 补的唯一性692

(5) 补和有补格692

(1) 布尔表达式693

6.布尔函数和布尔表达式693

(2) 布尔表达式的值693

(5) 其他性质693

(4) 布尔函数694

(5) 析取范式与合取范式694

(3) 等价布尔表达式694

8.数字网络和开关代数695

(1) 数字网络695

7.命题演算695

(2) 开关线路697

(3) 开关代数698

一、数学常数表700

附表700

附表700

二、素数表702

三、弧度和度互化表704

四、双曲函数表710

五、椭圆积分表722

六、Γ函数表726

七、勒让德多项式表730

八、贝塞尔函数表734

九、泊松分布表766

十、正态分布表770

十一、x2分布表781

十二、t分布表784

十三、F分布表788

十四、数学符号表808

十五、外国数学家译名表816