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目录1

（一）数1

代数系1

群1

环3

域4

序5

序环（域）7

自然数8

自然数的运算14

扩大自然数集16

自然数集的基数17

整除18

倍数的性质19

质数与合数19

偶数与奇数20

公约数和最大公约数20

公倍数和最小公倍数21

辗转相除法22

带余除法22

互质数24

互质数的性质24

同余数26

自然数被质数整除的判27

别27

整数31

算术基本定理32

因数和倍数32

因数分解32

数域上运算的分级33

有理数34

有理数的运算38

有理数的性质41

有理数的绝对值42

等价关系和集合的分类44

同构45

康托的实数定义46

实数的有序性48

实数的运算51

实数的阿基米德性质57

实数集的稠密性58

实数的完备性59

刻划实数域连续性的几个等价命题62

戴德金实数理论的简单介绍63

康托实数与戴德金实数的等价性66

实数的公理化定义69

实数的小数表示法70

无理数（中学数学中无理数的定义）73

代数数76

超越数77

准确数和近似数80

绝对误差和绝对误差界80

近似数的截取方法81

有效数字82

相对误差和相对误差界83

可靠数字83

相对误差界与可靠数字或有效数字间的关系84

近似计算法则85

近似数的混合运算86

复数87

复数相等92

复数的表示法93

共轭复数94

复数的模95

复数的辐角98

复数的运算99

复数的运算律108

欧拉公式110

棣莫佛公式111

复数没有大小的规定112

超复数113

（二）式117

解析式117

解析式的定义域117

解析式的值域118

解析式的值118

解析式的恒等119

恒等变换120

代数学121

代数式121

代数式的分类123

有理式123

无理式123

多项式124

整式124

单项式124

同类项125

多项式的降幂排列和升幂排列125

多项式环125

多项式的标准形式126

多项式恒等于零的充要条件126

两个多项式恒等的充要条件128

待定系数法129

代数式的运算131

多项式的加法法则132

相反多项式133

多项式的减法法则133

多项式的乘法法则134

多项式的竖式乘法134

分离系数法135

乘法公式135

带余式除法137

多项式的整除137

综合除法140

余数定理143

多项式的根143

因式定理144

不可约多项式144

既约多项式145

可约多项式145

当然因式145

多项式唯一分解定理146

多项式的因式分解146

非平凡因式146

多项式因式分解法148

二次三项式的因式分解152

对称多项式153

初等对称多项式153

对称式的因式分解154

交代式155

交代式的因式分解156

艾森斯坦因判定法157

对称多项式的基本定理157

最高公因式159

最高公因式的求法162

多项式互质164

最低公倍式165

最低公倍式的求法165

分式167

真分式与假分式168

分式的恒等169

繁分式169

分式的基本性质170

分式的约分171

既约分式171

分式的通分173

分式的四则运算174

部分分式177

根式182

根式的性质184

最简根式185

同类根式186

同次根式186

根式的运算186

共轭因式188

分母有理化189

α±？的算术平方根189

二次不尽根190

正整数指数192

零指数193

负整数指数194

分数指数196

有理数指数幂的性质199

无理数指数202

无理数指数幂的性质204

对数205

对数的性质208

自然对数210

常用对数和它的性质210

换底公式210

积、商、幂、方根的对数210

对数表的制造211

（三）函数214

集合214

属于215

空集215

集合的表示法216

文氏图217

集合的包含关系217

扩集218

真子集218

子集218

真扩集219

集合的相等219

交219

分离集220

并220

全集221

罗素悖论221

补222

等幂律223

求补律223

差223

对合律223

关于空集与全集的运算律224

交换律224

结合律224

分配律224

吸收律225

德·摩尔根定律226

重叠律226

集合的基本性质227

对偶原理228

幂集228

有限集的幂集的元素个数230

集合内元素的个数230

有序对232

笛卡儿积233

关系233

逆关系235

等价关系236

关系的定义域和值域236

对应237

单值对应237

多值对应238

单对单对应238

单对多对应238

多对单对应238

一一对应239

多对多对应239

映射240

象与原象241

单射242

满射242

一一映射243

双射244

恒等映射244

映射的合成244

逆映射245

区间248

函数249

函数的定义域254

函数的值域255

函数的表示法256

函数的图象256

函数的相等257

基本初等函数258

复合函数259

初等函数260

初等函数的分类261

有理函数261

无理函数261

有理整函数262

有理分函数262

代数函数262

单变量函数263

多变量函数263

反函数264

反函数的性质265

互为反函数的函数图象间的关系267

有界函数268

无界函数270

上（下）方有界函数270

单调函数270

确定函数单调性的几个定理271

奇函数273

偶函数273

函数的奇偶性274

判定函数奇偶性的几个定理274

应用函数的奇偶性简化对函数单调性的研究275

周期函数276

周期函数的最小正周期278

函数在某一点的相对极值281

用初等方法讨论函数281

应用函数的性质描绘图象282

关于横坐标轴对称的两个函数的图象283

关于纵坐标轴对称的两个函数的图象284

关于原点对称的两个函数的图象284

函数y＝｜f（x）｜的图象284

函数y＝f（｜x｜）的图象285

图象的平移285

图象沿坐标轴的放缩287

图象的综合变换288

正比例函数290

反比例函数的性质291

反比例函数291

正比例函数的性质291

一次函数292

一次函数的图象293

一次函数的性质294

二次函数294

二次函数的图象295

二次函数的性质297

二次函数的极值299

整数指数的幂函数300

幂函数300

分数指数的幂函数303

指数函数307

指数函数的性质307

指数方程310

指数不等式311

对数函数312

对数函数的性质312

对数方程313

对数不等式315

等式317

条件等式317

恒等式317

（四）方程317

等式的基本性质318

方程318

超越方程320

分式方程320

有理方程320

代数方程320

方程的未知数允许值范围320

无理方程321

整式方程322

方程的分类322

方程的解323

解方程323

根324

重根324

增根324

同解方程325

遗根325

方程的结果326

同解变形326

方程同解变形定理326

一元一次方程336

一元一次方程的解法336

方程ax＋b＝0的讨论337

一元二次方程337

一元二次方程的解法338

一元二次方程根的判别式定理341

实数系数的一元二次方程根的性质343

一元二次方程根与系数的关系344

一元二次方程根与系数关系定理的一些应用347

分式方程的解法347

无理方程的解法352

含有绝对值的方程356

列方程解应用题359

高次方程363

高次方程根的定理364

降次方程364

代数解法364

高次方程的根与系数的关系373

重根的判定和求法376

结式378

判别式383

实根近似值的求法383

斯特姆定理394

连号和改号402

虚根的判定403

倒数方程404

二项方程408

三项方程410

双二次方程410

一元三次方程的解法410

一元四次方程的解法415

（五）方程组、行列式、矩阵、向量二元一次方程419

二元一次方程解的不定性419

整数系数二元一次方程有整数解的判别420

整数系数二元一次方程整数解的一般形式421

整数系数二元一次方程整数解的求法422

方程组424

方程组的解424

解方程组425

同解方程组425

方程组同解变形定理425

二元一次方程组431

二元一次方程组的解法432

二元一次方程组解的讨论434

二元二次方程437

二元二次方程组437

二元二次方程组的解法438

二元二次方程组解的个数441

一次方程（或线性方程）443

线性方程组444

线性方程组的初等变换444

线性方程组的系数矩阵和增广矩阵445

由增广矩阵解线性方程组446

阶梯形矩阵446

线性方程组有解的判别定理450

齐次线性方程组452

齐次线性方程组有非零解的判别452

排列的反序数452

奇排列和偶排列453

对换453

二阶行列式455

三阶行列式456

n阶行列式457

转置行列式458

行列式的性质458

子式465

余子式、代数余子式466

行列式依行（列）展开的定理466

范得蒙行列式471

克莱姆法则472

矩阵476

数与矩阵的乘法477

矩阵的相等477

矩阵的加法478

零矩阵479

负矩阵479

矩阵的减法479

矩阵的乘法479

矩阵乘法的运算定律480

矩阵的方幂482

转置矩阵482

单位矩阵482

矩阵的初等变换484

矩阵的秩487

矩阵的秩的求法488

可逆矩阵490

奇异矩阵492

非奇异矩阵492

初等矩阵492

矩阵可逆的判别496

伴随矩阵498

逆矩阵的求法499

线性方程组的另一种解法501

向量502

向量的模503

相等向量503

相反向量503

自由向量503

零向量504

单位向量504

共线矢量504

矢径504

固定向量504

向量加法505

向量加法的性质506

向量减法507

数与向量相乘507

共线向量的相互关系508

数与向量乘法的性质508

向量的夹角511

两轴间的夹角511

点在轴上的投影512

向量在轴上的投影512

向量在轴上的分向量513

向量在坐标轴上的分解514

向量的坐标515

向量的坐标运算516

用向量的始点和终点的坐标表示向量516

用向量的坐标表示向量的长度与两点间的距离517

方向余弦518

向量的方向数519

两个向量的数量积519

两个向量数量积的基本性质520

坐标轴上的单位向量的数量积521

用向量的坐标表示两个向量的数量积521

向量的向量积522

向量积的基本性质523

不等式的基本性质525

异向不等式525

不等式525

（六）不等式525

同向不等式525

条件不等式528

不等式的解集529

解不等式529

同解不等式529

不等式的解529

矛盾不等式529

绝对不等式529

不等式同解变形定理530

一元一次不等式534

一元一次不等式的解法534

不等式组535

不等式组的解535

不等式组的解集535

一元一次不等式组的解法536

一元二次不等式536

一元二次不等式的解法536

一元n次不等式537

一元二次不等式组的解法537

一元n次不等式的解法538

有理不等式（一元的）540

分式不等式540

分式不等式的解法540

无理不等式541

无理不等式的解法541

含有绝对值的条件不等式542

含有绝对值的不等式的解法543

含有绝对值的不等式的性质545

二元一次不等式的几何解法546

不等式的证明548

柯西不等式552

平均值不等式554

贝努里不等式556

（七）数列、数学归纳法数列558

通项公式559

常数数列559

无穷数列559

有穷数列559

等差数列560

等差数列前n项和的公式561

等差中项562

等差数列的性质563

高阶等差数列565

r阶等差数列的通项公式565

高阶等差数列的性质567

r阶等差数列前n项和的公式567

等比数列569

等比数列前n项和的公式570

等比中项571

等比数列的性质571

调和数列572

调和中项573

自然数平方和的公式574

递推公式576

递推数列579

杂数列求和举例582

完全归纳法587

不完全归纳法588

数学归纳法原理589

第二数学归纳法原理591

（八）排列、组合、二项式定理乘法原则和加法原则594

排列595

选排列596

全排列596

排列数597

阶乘597

环形排列599

重复排列601

不尽相异元素的全排列602

组合603

组合数606

组合数的性质607

组合总数609

重复组合610

不尽相异元素的组合总数612

二项式定理613

二项式展开的性质616

贾宪三角（杨辉三角）618

牛顿二项式定理620

多项式定理621

具有实数指数的二项展开式622

（九）概率625

随机现象625

随机试验、基本事件、基本空间626

随机现象的统计规律性626

随机事件627

必然事件与不可能事件628

随机事件运算法则629

互斥事件（或互不相容事件）630

互逆事件（或对立事件）631

古典概率632

概率的统计定义637

概率的加法公式638

逆事件的概率公式643

条件概率644

概率的乘法公式647

全概率公式649

逆概率公式（后验概率公式）652

相互独立事件654

独立重复试验661

随机变量665

离散型随机变量及其概率分布（分布列）667

分布函数670

离散型随机变量的数学期望674

数学期望的性质676

离散型随机变量的方差678

方差的性质680

二项分布681

总体与样本682

样本均值684

样本方差686

频数分布与频率分布直方图689

累积频数与累积频率分布694

命题700

（十）逻辑代数700

判断700

真值701

逻辑常数701

逻辑变量701

真值表701

逻辑加702

逻辑乘704

逻辑非706

逻辑设计708

逻辑运算708

逻辑表达式708

逻辑图709

代数运算与代数系统709

逻辑代数709

命题代数712

逻辑函数712

逻辑函数的等价713

永真式和永假式714

逻辑代数的基本性质715

逻辑代数中几个常用公式716

代入规则718

对偶式719

对偶原理720

反演式721

反演定理722

零与1的唯一性723

任一逻辑变量A的反（非）也是唯一的723

R进位制724

十进制整数转换成二进制整数725

十进制小数转换成二进制小数726

二进制数转换成十进制数727

半加器728

开关电路729

动合开关729

静合开关729

门电路730

正逻辑与负逻辑730

开关代数730

开关变量730

基本开关运算730

开关函数的等价734

开关电路的性质735

完全性定理738

“与——或”标准形（标准析取式）739

最小项740

“与——或”范式（析取范式）741

范式定理741

“与——或”范式的一种简化记法744

最简“与——或”式744

蕴含项745

质项748

卡诺图748

逻辑表达式化简的必要性749

利用常用公式化简逻辑表达式750

卡诺图的特点与化简751

布尔代数757

索引761