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译者序1

目录1

第1章　集合论初阶1

1．集合与集合的运算1

1.1　集合与子集合1

1.2　集合的运算2

编者序3

2.1　对应与映射4

2.2　一一映射4

2．集合之间的对应与集合的映射4

作者序5

2.3　集合的等价5

2.4　集合的分类5

3．有序集8

3.1　有序集的概念8

3.2　排列9

3.3　置换11

3.4　选排列13

3.5　组合14

3.6　牛顿二项式15

4．数学归纳法16

5.1　集合中的二元运算18

5．具有二元运算的集合18

5.2　集合的同构19

5.3　群19

5.4　环21

5.5　体21

6．矩阵、行列式22

第2章　实数25

1．自然数26

1.1　自然数集26

1.2　自然数集的公理构造28

1.3　质数、算术基本定理30

1.5　最小公倍数、最大公约数、欧几里得除法31

1.4 自然数整除性的某些判别法31

2．整数35

2.1　整数集35

2.2　整数的算术运算36

3．有理数39

3.1　有理分数39

3.2　有理数43

3.3　整数与有理数44

3.4 有理数集作为整数集的扩充45

4．实数45

4.1 实数集作为有理数集的扩充45

4.2　实数集的公理构造46

4.3　把实数表示为十进小数49

4.4　实数集的几何表示51

4.5　有理数和无理数的十进表示52

4.6　数的无理性证明的一些方法55

4.7　代数数和超越数58

4.8　幂和方根59

4.9　对数61

5．十进小数62

5.1　十进位计数制62

5.2　十进小数的概念63

5.3　有限十进小数的算术运算66

5.4　有限十进小数化为有理分数68

5.5　无限循环小数化为有理分数68

6．连分数70

7．计算方法73

7.1　数的近似值与误差73

7.2　数的近似值的十进表示75

7.3　数的四舍五入法77

7.4　切线法（牛顿法）77

7.5 自然数的平方根的求法79

第3章　复数81

1.1　复数集的公理构造82

1．复数集82

1.2　有序实数对的集合与复数集84

2．复数的几何表示与三角形式86

2.1　复数的几何表示86

2.2　复数的和与差的几何表示87

2.3　复数的三角形式87

3．复数的幂89

3.1　复数的自然数次幂89

3.2　复数的n次方根89

1．一元多项式91

1.1　多项式的概念、多项式的算术运算91

第4章　代数学91

1.2　多项式的因式93

1.3　多项式的除法、戈尔涅尔模式、贝儒定理94

1.4　求两个多项式最高公因式的欧几里得除法96

1.5 多项式的根98

1.6　乘法的简单公式98

1.7　韦达公式99

1.8　代数基本定理100

1.9 多项式的因式分解100

1.10　代数基本定理100

对实系数多项式的一些推广100

2．多元多项式101

2.1 多元单项式和多元多项式101

2.2　多项式项的字典排列法102

3．有理代数分式103

3.1　代数分式的算术运算103

3.2　真代数分式105

3.3　最简分式106

3.4　比例107

4．无理代数式108

5．方程、代数方程110

5.1　基本定义110

5.2　线性方程112

5.3　二次方程113

5.4　二项方程115

5.5　双二次方程116

5.6　某些可化为二次方程的四次方程117

5.7　整系数代数方程的解119

5.8　有理代数方程120

5.9　无理方程121

5.10　绝对值号内含有未知数的方程124

5.11　在复数集中解方程125

5.12　不定方程127

6．超越方程128

6.1　指数方程128

6.2　对数方程129

7.1　几个基本定义131

7．方程组、线性方程组131

7.2　线性方程组132

7.3　逐次消元法（高斯法）133

7.4　两个二元线性方程的方程组138

7.5　线性方程组的解的几何意义139

8．非线性代数方程组142

9．不等式145

9.1　不等式的定义和基本性质145

9.2　某些重要的不等式146

10.1　某些基本定义148

10．不等式和不等式组的解148

10.2　一元线性不等式和一元线性不等式组149

10.3　二次不等式149

10.4　区间法151

10.5　解无理不等式153

10.6　指数不等式154

10.7　对数不等式154

10.8　二元不等式解集的几何表示156

11．证明不等式正确性的方法162

11.1　利用一连串等价不等式证明不等式的正确性162

11.2　利用不等式中出现的函数性质证明不等式的正确性163

式正确性的几种特殊的证法164

11.3　不等164

11.4　验证数值不等式正确性的一些方法166

第5章　坐标法170

1．坐标系170

1.1　坐标轴170

1.2　平面笛卡儿直角坐标系171

1.3　极坐标系、直角坐标和极坐标之间的关系174

1.4　空间笛卡儿直角坐标系174

1.5　平面方程176

2．向量176

2.1　向量、基本概念176

2.2　向量之间的夹角、向量的数量积182

2.3　平面向量的坐标183

2.4　空间向量的坐标184

2.5　向量积185

2.6　向量的混合（数量-向量）积186

3．解析几何基础187

3.1　直线187

3.2　圆周189

3.3　椭圆190

3.4　双曲线192

3.5　抛物线194

第6章　几何学195

1.1　射线196

1．射线、线段196

1.2　线段197

2．平面上的角198

2.1　角的概念198

2.2　角度制199

2.3　弧度制199

2.4　角的分类200

2.5　两个方向之间的夹角200

3．平面上的平行和垂直200

3.1　平面上的平行200

3.3　点到直线的距离202

3.2　平面上的垂直202

4．空间中的平行和垂直203

4.1　直线与平面平行203

4.2　平面的平行203

4.3　直线与平面垂直204

4.4　点到平面的距离204

4.5　平面的垂直204

4.6　斜线205

4.7　异面直线205

5．平面上的投影205

5.1　平行投影205

6．空间中的角206

6.1　斜线和平面的夹角206

5.2　正投影206

6.2　二面角207

6.3　两个平面之间的夹角207

7．折线、多边形208

8．三角形210

8.1　基本性质210

8.2　三角形的中线211

8.3　三角形的高212

8.4　三角形的角平分线213

8.5　三角形的中位线213

8.8　直角三角形214

8.7　等边三角形214

8.6　等腰三角形214

9．四边形215

9.1　平行四边形215

9.2　菱形216

9.3　矩形217

9.4　正方形217

9.5　梯形217

10．相似多边形218

10.1　多边形相似的判定218

10.2　三角形相似的判定219

11.1　圆周和圆220

11．圆周和圆220

11.2　切线和割线221

11.3　两圆的相互位置222

　 11.4　圆心角和圆弧223

11.5　圆的弧和弦223

11.6　与圆有关的角224

11.7　圆的周长和面积225

12．多边形和圆226

12.1 内接多边形和外切多边形226

12.2　内接三角形226

12.4　旁切圆227

12.3　外切三角形227

12.5　正三角形和直角三角形的边与内切圆半径和外接圆半径之间的关系228

12.6　圆内接四边形228

12.7　圆外切四边形229

13．几何作图229

13.1　已知直线（已知线段）的平行线和垂线的作法229

13.2　角的作法230

13.3　线段的作法232

13.4　圆和圆弧的作法235

13.5　圆的切线的作法237

13.6　多边形的外接圆和圆内接多边形的作法238

13.7　多边形的内切圆和圆外切多边形的作法239

13.8　三角形的作法240

14．多面角244

15．多面形、多面体245

16．棱柱246

17．平行六面体、正方体247

18．棱锥、棱台248

19．正多面体250

20．旋转体253

21．圆柱254

22．圆锥、圆台256

23．球面、球259

24．球的各个部分261

24.1　球缺261

24.2　球扇形261

24.3　球台262

24.4　球带262

25．平面和空间的变换263

25.1　图形到图形内的映射和图形到图形上的映射263

25.2　平面和空间的变换263

25.3　空间和平面的保距变换、图形的全等264

25.4　绕点的平面旋转265

25.6　平面轴对称266

25.5　中心对称和中心对称图形266

25.7　空间轴对称267

25.8　关于平面的对称268

25.9　平面位似268

25.10　空间位似269

25.11　平面的相似变换270

25.12　相似图形270

26．（希尔伯特的）几何公理体系和不定义的几何概念271

第7章　三角学276

1．三角函数276

1.1　角的概念的推广276

1.2　三角函数277

1.3　单位圆的象限、三角函数值的符号280

1.4　数值变量的三角函数280

1.5　反三角函数287

1.6　特殊角的三角函数值290

2．三角公式293

2.1　诱导公式293

2.2　同角的三角函数之间的关系294

2.3　和角与差角的三角函数294

2.4　二倍角、三倍角和半角的三角函数294

2.5　三角函数的和（差）化积（三角表达式化为便于取对数的形式）296

2.6　三角函数的积化和298

2.7　反三角函数间的最简关系式298

3.1　最简三角方程300

3．三角方程和三角不等式的解300

3.2　较复杂的三角方程的例子302

3.3　最简三角不等式的解306

3.4　求解含反三角函数的方程和不等式的例题306

4．三角形元素之间的关系309

4.1　基本公式309

4.2　三角形元素的计算310

第8章　极限论314

1．数列314

1.1　数列的概念314

1.2　给出数列的某些方法315

1.3　数列的项的几何描述316

1.4　有界数列317

1.5　单调数列318

2．数列的极限319

2.1　数列极限的概念319

2.2 数列收敛的必要条件322

2.3　关于数列极限的定理323

2.4　数列收敛的充分条件325

2.5　无穷数列收敛的充要条件331

3．数项级数331

3.1　数项级数的概念331

3.2　正项级数334

3.3　调和级数335

4．无穷乘积335

4.1　无穷乘积的概念335

4.2　无穷乘积与级数的关系336

5．级数336

5.1　算术级数336

5.2　几何级数337

6．数值函数338

6.1　数值函数的概念338

6.2　给出函数的方法339

6.3　两个函数的和、积、差和商340

6.4　复合函数（函数的迭加）341

6.5　偶函数和奇函数341

6.6　周期函数343

6.7　有界函数344

6.8　单调函数344

6.9　互为反函数346

7．函数的极限347

7.1　函数极限的概念347

7.2　关于函数极限的定理350

7.3　函数极限存在的充要条件（柯西准则）352

8.2　无穷小量的比较353

8.1　无穷小量的概念353

7.4　某些重要的极限353

8．无穷小量353

9．函数的连续性355

9.1　函数连续的概念355

9.2　关于连续函数的基本定理356

9.3　初等函数的连续性357

第9章　微积分学基础358

1．导数358

1.1　导数的概念358

1.3　导数的物理意义359

1.4　关于导数的定理359

1.2　显函数图象的切线方程359

1.5　初等函数的导数的计算360

1.6　高阶导数364

2．原函数、不定积分365

2.1　原函数和不定积分的概念365

2.2　积分的最简法则和方法367

3．定积分370

3.1　平面图形面积的计算问题370

3.2　定积分371

3.3　定积分的性质372

3.4　定积分作为上限的函数373

3.5　微积分学基本公式374

4.1　几个变量之间函数相关的概念375

4．微分方程375

4.2　常微分方程的概念376

4.3　一阶微分方程、用一阶微分方程描述的例题377

4.4　二阶微分方程、谐振方程379

第10章　初等函数382

1．函数的研究382

1.1　常量函数382

1.2　函数单调的条件382

1.3　函数的极大值和极小值382

1.4　函数的最大值和最小值385

1.5　曲线凹性的方向386

2．函数作图388

3．函数图象的最简变换390

4．线性函数393

5．反比例关系394

6．线性分式函数395

7．二次函数396

8．幂函数399

9．指数函数400

10．对数函数400

常用公式表403

附录：计数制412

基本符号表416

索引420