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Ⅰ初等数学知识1

一、代数1

(一)数及其运算1

1．数的系统表1

2．基本运算律1

3．实数1

4．复数2

1．式的分类表3

(二)弍及其运算3

2．乘法及因式分解公式4

3．比例4

4．分式5

5．根式6

6．不等式7

7．数列10

8．阶乘、排列、组合与二项式定理12

3．一次方程组的解15

2．一元一次方程的解15

1．方程的分类表15

(三)方程15

4．一元二次方程的解16

(四)初等函数16

1．初等函数分类表16

2．几种常见初等函数的性质和图象17

3．指数函数和对数函数18

4．双曲函数23

1．三角形27

(一)平面几何27

二、初等几何计算公式27

2．四边形28

3．正多边形30

4．与圆有关的各种图形31

(二)立体几何33

1．多面体33

2．旋转体35

3．多面体和旋转体主要元素间的关系37

3．单位圆中三角函数线40

2．三角函数定义40

(一)三角函数与反三角函数40

1．弧度与度的关系40

三、平面三角40

4．三角函数在各象限内的正负号41

5．三角函数的图形41

6．三角函数的基本性质43

7．特殊角的三角函数值43

8．反三角函数的图形43

1．同角三角函数基本关系46

(二)三角公式46

9．反三角函数的基本性质主值46

2．任意角三角函数诱导公式47

3．三角函数相互关系47

4．加法公式47

5．倍角公式49

6．半角公式49

7．和差与积互化公式50

8．三角补充公式50

9．A+B+C=180°时A、B、C的三角函数间关系51

10．化asinα+bcosα为一个角的一个函数的形式52

11．反三角函数恒等式52

(三)解斜三角形53

1．正弦定理53

2．余弦定理53

3．射影定理53

4．正切定理53

5．半角定理53

6．斜三角形的解法54

(四)三角方程55

1．最简三角方程的通解55

2．一般三角方程的解法55

四、平面解析几何55

(一)基本问题55

1．坐标系与坐标变换55

2．三个基本公式56

5．两直线之间的关系57

3．点到直线的距离57

4．两平行直线间的距离57

2．直线方程57

1．直线的斜率57

(二)直线57

6．三点共线与三线共点62

(三)圆锥曲线62

1．圆62

2．椭圆65

3．双曲线67

4．抛物线70

5．圆锥曲线统一定义73

(四)一般二次曲线74

1．二次曲线的切线与法线74

2．二次曲线的不变量74

3．二次曲线的分类74

4．二次曲线y2=ax2+bx+c的几种情况75

8．笛卡尔叶形线76

7．环索线76

6．尼克米德蚌线76

5．蔓叶线76

4．箕舌线76

2．半立方抛物线76

1．立方抛物线76

(五)重要平面曲线76

3．概率曲线76

13．外摆线77

16．蚶线77

15．心脏线77

14．蚌线77

12．星线形(内摆线的一种)77

11．内摆线77

10．旋轮线(摆线)77

9．悬链线77

17．圆渐开线78

18．曳物线78

19．弹道曲线78

20．阿基米德螺线(等速螺线)78

21．对数螺线(等角螺线)78

22．双曲螺线78

26．四叶玫瑰线79

25．三叶玫瑰线79

24．双纽线79

23．连锁螺线79

Ⅱ 空间解析几何80

一、矢量代数80

1．矢量概念与线性运算80

2．矢量的分解与空间直角坐标系81

3．两个矢量的乘积83

4．三个矢量的乘积84

5．空间直角坐标系中一些常用公式86

6．空间中坐标变换88

1．空间中的平面89

二、空间中的平面和直线89

2．空间中的直线91

3．直线和平面间的位置关系93

4．关于直线、平面的一些常用问题93

三、二次曲面95

1．空间中曲面方程95

2．空间中曲线方程96

3．柱面、锥面、旋转曲面96

5．椭球面99

4．解析法讨论二次曲面的步骤99

6．双曲面100

7．抛物面101

8．直纹二次曲面102

9．二次曲面围成区域和交线举例103

四、二次曲面的一般理论104

1．二次曲面的中心104

2．二次曲面的直径面与主径平面105

3．不变量的概念106

4．类型判别及简化方程107

Ⅲ 极限与连续110

一、实数集110

(一)实数110

1．全序性110

2．稠密性110

3．完备性110

4．阿基米德性质111

(二)反映实数集R完备性的几个等价条件112

1．确界112

3．有限覆盖定理113

2．闭区间套定理113

4．聚点114

(一)一元函数与数列的定义115

(二)数列与一元函数的极限概念115

1．数列{an}极限的定义115

2．函数极限的定义115

二、一元函数的极限116

(三)极限概念的统一描述117

2．与一般有极限变量之间的关系118

3．无穷小量的阶118

(四)无穷小量118

1．定义118

4．无穷小量的运算119

(五)无穷大量119

1．定义119

2．无穷大量与无穷小量的关系119

2．局部有界性120

1．唯一性120

(六)有极限变量的性质120

3．无穷大量的阶120

4．无穷大量的运算120

3．局部保号性121

4．局部不等性121

5．极限的四则运算法则121

(七)关于极限的存在定理121

1．两边夹迫敛定理121

2．单调有界变量极限存在定理122

3．柯西极限存在定理122

(八)一些重要极限123

4．用数列极限描述的极限存在定理123

5．用上、下极限描述的权限存在定理123

三、一元连续函数124

(一)一元函数连续性概念124

1．函数在点x＝x0连续的定义124

2．函数在点x0单侧连续的定义125

3．函数在区间连续的定义125

(二)一元函数的间断点及其分类125

2．局部保号性127

(三)一元函数在连续点的性质127

1．局部有界性127

2．最值存在性128

1．反函数定义128

4．一致连续性128

3．介值性128

(五)一元函数反函数及其连续性128

1．有界性128

(四)在闭区间上连续函数的性质128

4．复合函数的连续性128

3．四则运算性质128

2．反函数存在准则129

3．反函数连续定理129

四、多元函数及其连续性129

(一)n维欧几里得空间的概念129

(二)n维点集130

1．基本概念130

2．基本定理131

1．n元函数的定义132

(三)多元函数及其极限与连续性132

2．n元函数极限的定义133

3．n元函数极限定义的等价条件133

4．n元函数在一点有极限的准则134

5．n元函数的累次极限134

6．n元函数的连续性概念135

7．n元连续函数的四则运算法则136

8．复合函数的连续性136

9．在有界闭区域上连续多元函数的性质137

(一)概念与运算138

1．导数的概念138

Ⅳ 微分学138

一、一元函数微分学138

2．微分的概念139

3．基本法则140

4．导数与微分公式142

5．高阶导数与高阶微分144

6．一些函数的n阶导数公式146

2．拉格朗日中值定理147

3．柯西中值定理147

(二)微分学中值定理147

1．洛尔中值定理147

4．泰勒公式148

5．洛比塔法则150

(三)导数与微分的应用152

1．导数作为切线斜率的初步应用152

2．微分用于近似计算153

3．函数的单调性153

4．函数的极值153

6．渐近线154

5．函数的凹向及拐点154

7．几个函数的图象155

8．弧的微分与曲率155

二、多元函数微分学157

(一)概念与运算157

1．二元函数偏导数概念157

2．n元函数偏导数定义158

3．复合函数的微分法158

4．高阶偏导数159

5．二元函数的全微分160

6．n元函数的全微分162

(二)多元函数中值定理与泰勒公式164

1．中值定理164

2．多元函数的泰勒公式164

(三)隐函数定理165

1．二元函数的隐函数存在定理165

2．多元函数的隐函数存在定理166

3．雅可比行列式166

4．方程组的隐函数存在定理168

1．几何上的应用169

(四)多元函数微分学的应用169

2．二元函数的极值171

3．多元函数的条件极值172

Ⅴ 积分学174

一、不定积分174

(一)原函数与不定积分174

1．原函数174

2．不定积分174

3．基本积分公式174

4．不定积分法则175

(二)有理函数的不定积分176

1．有理函数的不定积分176

2．可化为有理函数的不定积分176

(三)不定积分表177

1．含a+bu的有理式177

2．含a2±b2u2的有理式178

3．含(a+bu)~(1/2)的式子179

4．含(u2±a2)~(1/2)的式子180

5．含(a2-u2)~(1/2)的式子182

6．含(2au±u2)~(1/2)的式子184

7．二项简化公式185

8．含a+bu±cu2(c＞0)的式子186

9．其他代数式187

10．指数式与对数式190

11．三角式190

12．三角简化公式192

13．反三角函数193

14．双曲函数194

1．定积分的概念195

(一)定积分的概念及其存在性195

二、定积分195

2．可积的条件196

3．可积函数族196

(二)定积分的性质197

1．可分性与补充定义197

2．定积分的不等式197

3．定积分中值定理198

4．奇偶性、周期性的利用199

3．分部积分法199

2．换元积分法199

1．基本公式(牛顿—莱布尼兹公式)199

(三)定积分的计算199

(四)广义积分200

1．无穷区间的广义积分200

2．无界函数的广义积分201

(五)含参数的积分202

1．含参数的常义积分202

2．含参数的广义积分202

(六)定积分表204

1．梯形法208

2．辛卜生公式208

(七)定积分的近似计算208

三、多重积分209

(一)二重积分209

1．二重积分的概念209

2．二元函数的可积条件209

3．可积的二元函数类210

4．二重积分的性质210

5．二重积分的计算210

1．三重积分化为累次积分212

(二)三重积分212

2．三重积分的换元积分法213

(三)n重积分214

1．n重积分化为n次积分214

2．n重积分的换元积分法215

(四)曲线积分215

1．第一型曲线积分215

2．第二型曲线积分216

3．平面上的曲线积分217

4．曲线积分与路径无关的条件218

(五)曲面积分219

1．第一型曲面积分219

2．第二型曲面积分220

(六)多重积分、曲线积分、曲面积分之间的关系223

1．平面曲线积分与二重积分的关系(格林公式)223

2．曲线积分与三重积分的关系(奥斯特洛格拉特斯基—高斯公式)223

3．曲线积分与曲面积分的关系(斯托克斯公式)223

(七)积分的应用223

1．求面积223

2．求体积225

3．n维欧氏空间的超立方体与超球体226

4．求重心227

5．求转动惯量228

6．求液体压力228

7．求变力所做的功229

四、场论初步229

1．场229

2．梯度场与方向导数229

3．散度场230

4．旋度场231

5．拉普拉斯算子在球坐标系和柱坐标系中的表达式233

Ⅵ 无穷级数与无穷乘积234

一、无穷级数234

(一)常数项级数234

1．基本概念234

2．基本性质234

3．正项级数235

4．任意项级数237

2．收敛的必要条件238

3．累级数238

1．基本概念238

(二)二重级数238

4．二重级数与累级数的关系239

5．正项级数239

6．绝对收敛级数239

(三)函数项级数240

1．基本概念240

2．一致收敛判别法240

1．基本概念与基本性质241

(四)幂级数241

3．和函数的性质241

2．函数的幂级数展开式242

(五)傅立叶级数253

1．正交函数系253

2．任意函数在各种区间上的傅立叶级数254

3．奇函数展为正弦级数255

4．偶函数展为余弦级数256

5．傅立叶系数的性质256

8．函数的傅立叶级数展开式表257

7．傅立叶级数的收敛定理257

6．傅立叶级数的逐项积分和逐项微分257

9．两个三角函数的求和公式264

10．几个逼近定理264

二、无穷乘积265

1．基本概念265

2．收敛判别法265

3．函数项无穷乘积的一致收敛266

4．无穷乘积展开式表266

2．一元n次方程、根268

1．数域268

3．最大公因式268

一、多项式与代数方程268

(一)基本概念268

Ⅷ 高等代数268

4．最小公倍式269

5．不可约多项式269

(二)一般性质269

1．代数学基本定理269

2．单根与重根270

3．实根与复根270

4．整数根与有理数根270

5．因式分解270

6．根与系数的关系271

(三)三次方程271

1．x3-1＝0271

2．x3+px+q＝0272

3．x4+bx3+cx2+dx+e＝0273

2．ax4+bx2+cx2+bx+a＝0273

1．ax4+cx2+d＝0273

(四)四次方程273

3．x3+ax2+bx+c＝0273

4．阿倍耳定理274

(五)多元多项式274

1．多元多项式274

2．对称多项式274

3．子式、代数余子式276

2．n阶行列式276

1．逆序276

(一)基本概念276

二、行列式276

(二)行列式的性质277

(三)几个常用的行列式278

1．对角线行列式278

2．三角形行列式278

3．带形行列式278

2．三阶行列式279

1．二阶行列式279

3．n阶(n≥4)行列式279

4．范德蒙行列式279

(四)行列式的计算279

三、矩阵280

(一)矩阵280

1．矩阵280

2．零矩阵281

3．负矩阵281

4．单位矩阵281

3．矩阵与数量乘法282

4．矩阵的乘法282

1．矩阵的相等282

2．矩阵的加减法282

(二)矩阵的代数运算282

5．矩阵的转置283

(三)初等变换、初等矩阵283

1．初等变换283

2．初等矩阵284

3．等价矩阵285

3．在矩阵运算中秩的估计286

2．矩阵秩的求法286

1．矩阵的秩286

(四)矩阵的秩286

(五)逆矩阵287

1．逆矩阵287

2．逆矩阵的性质287

3．逆矩阵的求法287

3．准对角矩阵288

1．对角矩阵288

(七)几个特殊矩阵288

2．分块矩阵运算规律288

1．分块矩阵288

(六)分块矩阵288

2．对称矩阵与反对称矩阵290

3．复共轭矩阵291

4．埃尔米特矩阵与反埃尔米特矩阵291

5．正交矩阵291

6．酉(U)矩阵292

四、线性方程组292

(一)向量空间292

1．n维向量空间292

2．向量组的相关性293

3．等价向量组295

4．极大线性无关组与向量组的秩295

(二)线性方程组296

1．基本概念296

2．非齐次线性方程组297

3．齐次线性方程组299

五、特征值、特征向量300

1．特征值、特征向量300

3．特征向量的求法301

2．特征矩阵301

4．特征值、特征向量的性质302

六、矩阵的相似对角形303

1．相似矩阵303

2．相似矩阵的性质303

3．矩阵与对角矩阵相似的充要条件304

4．实对称矩阵的对角化304

七、λ-矩阵305

1．λ-矩阵305

3．不变因子与初等因子306

2．等价306

4．λ-矩阵的标准形307

5．若当标准形309

6．矩阵的最小多项式310

八、二次型311

(一)二次型及其矩阵311

1．二次型311

2．线性变换312

3．合同矩阵312

2．二次型化标准形的方法313

(二)二次型的标准形313

1．二次型的标准形式313

3．用正交变换化实二次型为标准形式314

4．规范形314

(三)实二次型分类315

1．正定二次型315

2．负定二次型315

3．半正定、半负定、不定二次型316

2．性质317

1．定义317

(一)线性空间317

九、线性空间317

3．基、维数与坐标318

4．基变换与坐标变换318

(二)线性子空间319

1．线性子空间319

2．子空间的交与和319

(三)线性空间的同构320

3．子空间的直(接)和320

十、线性变换321

1．线性变换321

2．线性变换的运算322

3．线性变换的矩阵322

4．线性变换的值域与核324

十一、欧氏空间与酉空间324

1．欧氏空间基本概念324

2．度量矩阵325

4．正交变换326

5．酉空间326

3．标准正交基326

十二、抽象代数基础327

(一)代数系统327

1．代数运算327

2．代数系统328

(二)群328

1．群的概念328

2．群的性质329

3．子群330

4．子群的倍集330

6．群的同态与同构331

5．不变子群、商群331

7．循环群332

(三)环333

1．环333

2．子环335

3．理想335

(四)域335

1．域335

2．子域336

2．柯西—黎曼条件337

1．极限、连续和可导337

Ⅷ 复变函数337

一、解析函数337

3．欧拉公式338

4．多值函数和黎曼面340

二、柯西定理和柯西积分公式343

1．复变积分343

2．柯西定理344

3．柯西积分345

4．含复参变量的积分346

1．外尔斯特拉斯二重级数定理347

三、解析函数的级数表示347

2．泰勒展式和罗朗展式348

3．解析函数的内在性质349

4．半纯函数的展开350

5．平面流动351

四、孤立奇点和留数352

1．孤立奇点352

2．留数353

4．用留数计算实积分354

3．留数定理354

5．解析函数零点个数356

6．某些级数求和357

五、保角变换357

1．解析函数的几何性质357

2．黎曼存在唯一性定理357

3．保角变换的基本原则358

4．线性变换358

5．其他初等变换360

2．方程的阶数363

4．方程的解363

3．线性与非线性方程363

Ⅸ 常微分方程363

1．微分方程363

(一)一般概念363

一、一般概念与一阶方程的初等积分法363

5．初值问题、通解与特解364

6．方向场364

2．化为可分离变量方程365

1．可分离变量方程365

(二)已按导数解出的一阶方程的初等积分法365

3．线性方程366

4．贝努里方程367

5．黎卡提方程367

6．全微分方程367

7．积分因子的求法368

4．引入参数的一般方法369

3．不显含x的方程f(y，y′)＝0369

2．不显含y的方程f(x、y′)＝0369

1．不显含x、y的方程f(y′)＝0369

(三)一阶隐方程的初等积分法369

5．可将y解出的方程 y＝F(x，y′)370

6．可将x解出的方程 y＝F(y，y′)371

(四)奇解及其求法371

1．奇解371

2．c—判别曲线371

2．F(x，y(n))＝0372

1．y(n)＝f(x)372

(一)几种可积类型372

二、高阶微分方程372

3．p—判别曲线372

3．F(y(n)，y(n-1))＝0373

4．F(y(n)，y(n-2))＝0373

(二)几种可降阶的类型374

1．F(x，y(k)．y(k+1)，…，y(n)＝0374

2．F(y，y′，…，y(n))＝0374

3．F(x，y，y′，…，y(n))＝0374

2．函数的线性相关性与朗斯基行列式375

1．解的存在唯一性定理375

(三)n阶线性方程375

3．n阶线性方程解的结构376

4．n阶常系数齐次线性方程及欧拉方程的解法376

5．n阶非齐次线性方程的解法377

6．幂级数解法与广义幂级数解法382

7．二阶线性方程的边值问题384

三、微分方程组389

(一)高阶方程(组)与一阶方程组的关系389

1．首次积分390

2．利用首次积分使方程组降维390

(二)首次积分390

(三)线性方程组392

1．向量—矩阵记号392

2．存在唯一性定理393

3．向量函数的线性相关性393

4．齐次、非齐次线性方程组解的结构394

5．常系数齐次线性方程组396

四、基本理论400

(一)存在定理400

6．常系数非齐次线性方程组400

1．皮亚诺定理401

2．柯西定理401

(二)唯一性定理401

1．皮卡定理401

2．阿斯古特定理402

(三)延展定理402

1．解的延展与饱和解402

2．延展定理402

(一)一般概念403

五、定性理论简介403

1．动力学系统403

1．局部李卜希兹条件403

2．解对始值的连续性定理403

(四)解对始值的连续性与可微性原理403

3．解对始值的可微性定理403

2．相空间与轨线404

3．稳定性概念404

(二)线性近似方法406

1．常系数齐次线性系统406

2．非线性自治系统406

1．关于函数v的几个定义407

3．霍尔维茨判别法则407

(三)李雅普诺夫第二方法407

2．李雅普诺夫定理408

(四)二维定常系统在奇点附近的轨线族分布410

1．常系数线性系统410

2．非线性系统413

3．庞卡莱—班狄克生方法414

2．极限环稳定性的定义414

1．极限环414

(五)极限环414

4．李安纳特方程415

Ⅹ 偏微分方程416

一、一般概念416

(一)偏微分方程416

1．偏微分方程(组)416

2．方程(组)的阶416

3．线性方程(组)416

4．拟线性方程(组)416

5．非线性方程(组)417

(二)方程(组)的解417

1．方程(组)的解417

2．通解417

3．特解与定解条件417

3．混合问题418

1．解的稳定性418

(四)定解问题的适定性418

2．边值问题418

1．初值问题(柯西问题)418

(三)定解问题418

2．适定问题419

3．不适定定解问题的典型例子419

(五)线性方程的迭加原理419

二、一阶方程420

(一)一阶拟线性方程420

1．含有两个自变量的情形420

2．含有n(n≥2)个自变量的情形423

(二)一阶非线性方程425

1．含有两个自变量的情形425

2．含有n(n≥2)个自变量的情形427

3．法甫方程429

4．完全解、奇异解、通解431

三、二阶方程434

(一)二阶半线性方程的分类434

1．含有两个自变量的情形434

2．含有n(n≥2)个自变量的情形437

2．格林公式440

1．共轭微分算子440

(二)共轭微分算子与格林公式440

(三)双曲型方程441

1．波动方程441

2．拉普拉斯双曲型方程451

(四)椭圆型方程454

1．边值问题的提法454

2．泊松方程455

4．基本解与基本积分公式456

3．极值原理、边值问题解的唯一性与稳定性456

5．格林函数457

6．球域与半空间狄里赫勒问题的解458

7．二维拉普拉斯方程459

8．调和函数的基本性质462

9．边值问题解的存在性463

(五)抛物型方程465

1．极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性465

2．混合问题467

3．柯西问题470

(一)广义函数初步471

四、广义函数初步与基本解471

1．基本函数空间472

2．广义函数空间473

3．广义函数的运算和性质474

(二)基本解477

1．微分方程的基本解477

2．祠西问题的基本解478

3．其他类型的基本解481

1．一般概念482

一、一般概念与基本方法482

Ⅺ 变分法482

2．基本结论483

二、固定边界的变分问题485

1．极值的必要条件、欧拉方程485

2．最简泛函?dx极值存在的充分条件491

三、可动边界的变分问题494

1．最简泛函?dx494

2．J[y(x)，z(x))＝?dx型泛函495

3．J[y(x)]＝?dx型泛函496

1．等周问题497

四、条件极值497

3．φ(x，y1，…yn，y′1，…y′n)＝0型的约束498

2．φ(x，y1，…yn)型的约束498

Ⅻ 积分方程501

一、一般概念501

(一)积分方程501

1．积分方程501

2．线性积分方程501

3．n维线性积分方程502

(二)迭加原理502

1．|λ|充分小的情形503

二、第二类Fr方程、弗列德霍姆理论503

(一)带连续核的方程503

2．预解核、存在唯一性定理504

3．弗列德霍姆理论507

4．多维情形与有界核的情形509

(二)带退化核的方程510

1．退化核510

2．解法510

1．极性核513

(三)带极性核的方程513

2．弗列德霍姆定理514

三、伏尔泰拉方程515

1．第二类伏尔泰拉方程515

2．第一类伏尔泰拉方程518

四、实对称核与埃尔米特核的积分方程519

(一)带实对称核的方程519

1．特征值的存在性与基本性质520

2．希尔伯特—史密特定理521

3．核关于其特征函数系的展开522

4．可化为带实对称核的方程523

(二)带埃尔米特核的方程524

1．特征值524

2．特征函数524

3．核的展开定理524

4．希尔伯特—史密特定理525

5．史密特公式525

6．可化为埃尔米特核的方程525

一、傅立叶变换526

1．傅立叶积分526

ⅩⅢ 积分变换526

2．傅立叶变换527

3．傅立叶变换的性质527

4．卷积528

5．相关函数529

6．广义傅立叶变换530

7．频谱分析530

8．傅立叶变换简表536

2．傅立叶正弦变换简表539

3．半无限区间上的余弦变换539

二、傅立叶正弦及余弦交换539

1．半无限区间上的正弦变换539

4．傅立叶余弦变换简表540

5．有限区间上的正弦变换540

6．有限傅立叶正弦变换简表540

7．有限区间上的余弦变换541

8．有限傅立叶余弦变换简表542

2．三重傅立叶变换543

1．二重傅立叶变换543

三、重傅立叶变换543

四、拉普拉斯变换545

1．定义及存在定理545

2．拉普拉斯变换的性质545

3．拉普拉斯变换的主要公式补充547

4．赫维赛德展开式547

5．卷积及卷积定理549

6．线性系统的传递函数549

7．拉普拉斯变换简表550

1．定义556

五、梅林变换556

2．梅林变换的主要公式557

3．梅林变换简表557

六、汉克尔变换559

1．定义559

2．汉克尔变换简表559

ⅩⅣ 特殊函数561

一、由含参变量或变上限的积分定义的特殊函数561

1．伽马函效(Г—函数)561

2．伯塔函数(В—函数)562

4．正弦积分和余弦积分564

3．误差函数564

5．指数积分和对数积分565

6．椭圆积分566

二、由正交多项式定义的特殊函数574

1．勒让德多项式574

2．切比雪夫多项式575

3．拉盖尔多项式577

4．埃尔米特多项式578

1．第一类贝塞耳函数579

三、由无穷级数定义的特殊函数579

2．第二类贝塞耳函数(诺伊曼函数)582

3．第三类贝塞耳函数(汉克尔函数)583

4．变型贝塞耳函数585

四、其他特殊函数588

1．贝努里多项式588

2．勒让德函数589

3．连带勒让德函数590

4．球函数(球面谐函数)591

5．由球贝塞耳方程引出的函数592

ⅩⅤ 微分几何594

一、曲线论594

1．矢量分析594

2．空间曲线的基本三棱形598

3．曲线论的基本公式与自然方程600

4．特殊曲线603

二、曲面论606

1．曲面表示法、曲面的切平面与法线606

2．曲面的第一基本形式609

3．曲面的第二基本形式、曲面上的曲率611

4．可展曲面615

5．曲面上重要的曲线和网616

6．曲面论的基本定理618

7．测地曲率、测地线621

ⅩⅥ 实变函数628

一、集628

(一)集运算628

1．集628

2．并集与交集628

4．上限集与下限集629

3．差集与余集629

(二)集的势630

1．对等630

2．势631

3．可列集及其势631

4．连续点集的势633

5．势比较635

(三)半序集635

1．半序集635

2．曹恩引理与策墨罗选择公理636

二、n维欧几里得空间Rn中的点集637

(一)开集、闭集、完备集637

1．内点、聚点637

2．开集、闭集、完备集638

3．R1中的开集、闭集、完备集的构造639

4．稠密集与疏朗集639

2．隔离性定理640

1．点集的距离640

(三)点集的距离与隔离性640

2．Gδ型集640

3．波内尔集640

1．Fσ型集640

(二)Fσ型集、Gδ型集、波内尔集640

三、Rn中的勒贝格测度641

(一)(L)外测度641

1．区间的体积641

2．(L)外测度641

2．(L)可测集及其测度的基本性质642

1．(L)可测集642

(二)(L)可测集642

3．(L)可测集类643

(三)乘积空间的测度644

1．笛卡尔乘积644

2．乘积空间Rp×Rq的测度644

(四)引入(L)测度的另一方法645

1．另一种定义法645

2．两种定义法的等阶性645

(一)集论646

1．环646

四、抽象测度论646

2．σ—环647

3．单调类647

(二)环上的测度648

1．集函数648

2．环上的测度648

3．测度空间651

(三)测度的扩张651

1．外测度651

2．测度的扩张652

(一)(L)可测函数653

1．定义与例653

3．勒贝格—斯蒂阶测度653

五、(L)可测函数653

2．基本性质654

(二)(L)可测函数的构造655

1．可测函数与简单函数的关系655

2．可测函数与连续函数的关系655

(三)(L)可测函数列的收敛656

1．依测度收敛656

1．测度有穷的(L)可测集上的有界(L)可测函数的(L)积分657

(一)(L)积分概念657

2．依测度收敛与几乎处处收敛的关系657

六、(L)积分657

(四)测度空间中的可测函数657

2．(L)积分的一般定义659

(二)(L)积分的性质661

1．基本性质661

2．积分与积限的交换662

3．重积分与累次积分665

1．单调函数666

(三)(L)不定积分666

2．有界变差函数667

3．绝对连续函数669

4．(L)不定积分670

七、抽象积分671

(一)测度空间上的积分671

1．积分的定义671

2．积分的性质673

(二)勒贝格—斯蒂阶积分673

1．度量空间674

(一)基本概念与常用度量空间674

ⅩⅦ 点集拓扑674

一、度量空间674

2．度量空间的拓扑概念675

3．常用度量空间677

(二)连续映射、拓扑映射681

1．连续映射681

2．拓扑映射681

(三)各种度量空间682

1．可分空间682

2．完备空间683

3．列紧空间与列紧集685

二、拓扑空间687

(一)基本概念687

1．拓扑空间687

2．拓扑基688

3．拓扑空间中的基本概念与性质689

(二)连续映射、拓扑映射691

1．连续映射691

2．拓扑映射691

2．分离性公理692

1．可数性公理692

(三)可数性公理、分离性公理、连通性692

3．连通性693

(四)满足公理A1与T1的空间695

1．基本性质695

2．子集的聚点与收敛点列极限的关系695

3．映射的连续性与收敛点列之间的关系695

(五)满足公理A2与T1的空间696

1．紧空间与紧集696

2．三种列紧性696

1．正则空间与正规空间的特征性质697

3．紧性与三种列紧性的关系697

(六)正则空间与正规空间、度量化定理697

2．乌里松延拓定理698

3．乌里松嵌入定理、度量化定理698

(七)紧T2空间699

1．紧集与闭集的关系699

2．度量化699

3．紧拓扑空间上的连续映射699

1．线性空间700

(一)赋范线性空间700

ⅩⅧ 泛函分析700

一、赋范空间与内积空间700

2．赋范线性空间701

3．巴拿哈空间704

4．殆直交元704

5．凸紧集上的不动点定理705

(二)内积空间705

1．内积空间705

3．直交与直交投影707

2．希尔伯特空间707

4．直交系、贝塞耳不等式708

5．完全标准直交系、巴塞伐尔等式709

6．可分的无穷维希尔伯特空间710

二、赋范空间的线性算子711

(一)有界线性算子711

1．定义与例子711

2．有界性与连续性，算子的范数712

3．有界线性算子空间712

1．有界线性泛函的存在性713

(二)对偶空间与对偶算子713

2．对偶空间与对偶算子715

3．弱收敛717

(三)关于有界线性算子的几个基本定理717

1．开映射定理、逆算子定理717

2．闭图象定理718

3．共鸣定理719

(四)有界线性算子的谱719

1．特征值与特征元719

2．正则点与谱720

3．有界线性算子谱的基本性质721

(五)全连续线性算子的谱722

1．全连续线性算子722

2．黎斯—邵德尔理论723

三、希尔伯特空间中的有界自共轭算子724

(一)共轭算子724

1．黎斯表示定理、希尔伯特空间的自共轭性724

2．共轭算子725

3．有界自共轭算子726

1．正算子727

2．投影算子727

(二)有界自共轭算子的谱分解727

3．有界自共轭算子的谱分解728

(三)有界自共轭算子的谱729

1．算子函数729

2．有界自共轭算子的谱730

3．全连续自共轭算子的谱分解730

1．数的近似表示731

2．有限差分、差商及中心差分731

ⅩⅨ 计算方法731

一、数值逼近731

3．一般插值公式733

4．埃尔米特插值、样条插值公式735

5．正交多项式737

6．实验曲线的拟合法738

7．等距节点的求积公式739

8．高斯型求积公式740

9．高斯—拉盖尔、高斯—埃尔米特求积公式741

1．消去法744

二、数值代数744

2．迭代法749

3．方程的特征值与特征向量751

三、常微分方程初值问题数值解法751

1．常用的单步法752

2．线性多步法753

3．常微分方程组的数值解法754

4．高阶微分方程的数值解法756

1．椭圆型方程的差分方法758

四、微分方程的差分方法758

2．抛物型方程的差分方法765

3．双曲型方程的差分方法770

五、微分方程的变分方法773

1．常微分方程的变分方法773

2．二阶椭圆型方程的变分原理和里兹—加辽金方法775

六、微分方程的有限元方法778

1．插值和基函数778

2．二阶椭圆型方程有限元方法的计算步骤788

3．理论基础797

4．四阶椭圆型方程边值问题的有限元方法798

5．抛物型和双曲型方程的有限元方法803

ⅩⅩ ALGOL算法语言806

一、基本符号与源程序的结构806

1．基本符号806

2．数、标识符、变量、标准函数807

3．类型与数组说明809

4．源程序的结构809

1．赋值语句810

二、基本语句810

2．条件语句812

3．转向语句813

4．循环语句813

5．空语句814

6．停语句814

7．输入、输出语句814

三、表达式、复合句、分程序、开关说明814

1．表达式814

3．分程序815

2．复合语句815

4．开关说明与开关命名符816

四、过程816

1．一般过程816

2．函数过程818

ⅩⅪ 概率论与数理统计820

一、概率论820

(一)事件与概率820

1．随机事件820

2．概率821

(二)随机变量及其分布825

1．随机变量与分布函数825

2．分布函数的基本性质825

3．离散型分布与分布列825

4．连续型分布与分布密度函数826

5．随机变量函数的分布826

(三)随机矢量及其分布827

1．随机矢量与联合分布函数827

2．联合分布函数的基本性质827

3．离散型随机矢量与连续型随机矢量827

4．边际分布828

5．条件分布与随机变量的独立性829

6．随机矢量函数的分布831

(四)随机变量的数字特征831

1．数学期望与方差831

2．协方差与相关系数832

3．有关数学期望、方差的几个公式832

4．高阶矩833

5．变异系数、偏度系数与峰度系数834

6．分位数与众数834

2．矩母函数835

(五)母函数与特征函数835

1．概率母函数835

3．特征函数836

(六)常用分布简表836

(七)大数定律与中心极限定理842

1．大数定律842

2．中心极限定理842

3．经验分布843

2．样本843

(一)总体与样本843

1．总体及其分布843

二、数理统计方法843

4．样本特征数844

(二)总体参数的点估计845

1．两种常用的求估计量的方法845

2．估计量好坏的标准847

(三)区间估计847

1．置信区间与显著水平847

2．正态总体参数的置信区间表848

(四)假设检验849

1．假设检验的步骤849

2．正态总体参数的假设检验表849

3．分布的假设检验853

4．其他几种常用的假设检验方法854

(五)方差分析859

1．单因素方差分析859

2．双因素方差分析862

2．一元线性回归867

1．最小二乘法原理867

(六)回归分析867

3．可化为线性回归的曲线回归873

4．多元线性回归877

5．多项式回归879

6．秩相关880

(七)正交试验设计881

1．正交表与正交试验881

2．用正交表安排试验的方法步骤881

3．利用极差分析正交试验884

4．正交试验的方差分析886

ⅩⅫ 运筹学893

一、规划论893

(一)线性规划893

1．概念和结论893

2．解法894

(二)整数规划900

1．概念和结论900

2．解法900

2．解法909

1．概念和结论909

(三)非线性规划909

二、图论916

(一)最短有向路916

1．概念和结论916

2．解法917

(二)最大流923

1．概念和结论923

2．解法924

1．概念和结论928

(三)最小支撑树928

2．解法929

三、统筹与优选930

(一)统筹方法930

(四)最大对集933

1．概念和结论933

2．解法934

1．概念和结论939

2．解法939

1．概念和结论944

(二)优选法944

2．解法945

四、对策论947

1．概念和结论947

2．解法948

1．概念952

2．解法954

五、排队论957

2．整除958

1．函数[x]及{X}958

一、整数958

ⅩⅩⅢ 初等数论958

3．素数959

4．算术基本定理959

5．带余数除法959

6．最大公约数、最小公倍数959

二、数论函数960

1．几个常用的数论函数960

2．狄里赫勒乘积961

3．可乘函数962

4．广义狄里赫勒乘积963

三、素数分布的一些初等结果965

四、同余式965

1．同余式及其基本性质965

2．剩余系966

3．一次不定方程与一次同余方程967

4．多项式的恒等同余968

5．模p的高次同余方程970

3．勒让德符号及其性质971

2．性质971

1．定义971

五、二次剩余与高斯互反定律971

4．雅可比符号及其性质972

5．二次同余式的解数972

六、指数、原根和指标973

1．指数和原根973

2．原根存在定理974

3．模pα(p≥2)简化系的构造974

4．指标与指标组974

6．素数及其最小原根表975

5．二项同余方程975

七、连分数980

1．简单连分数980

2．完全商与不完全商981

3．渐近分数与最佳渐近分数981

4．周期连分数983

5．d~(1/2)、e与π的连分数983

6．费波那奇序列984

1．常数表985

ⅩⅩⅣ 数表985

2．平方表986

3．平方根表989

4．立方表994

5．立方根表1000

6．阶乘数表1007

7．倒数表1008

8．三角函数表1012

9．常用对数表1020

10．自然对数表1024

11．三角函数对数表1029

12．弧度和度的换算表1040

13．双曲函数表1043

14．指数函数表1044

15．等分圆周表1046

16．常用计量单位表1047

17．直径为d的圆周长表1050

18．直径为d的圆面积表1053

19．半径为1的弓形的弧长、拱高、弦长与面积表1056

20．椭圆积分数值表1062

21．Г函数表1064

22．正态分布表1066

23．t分布表1072

24．X2分布表1074

25．F分布表1076

26．正交表1080

27．拉丁字母及希腊字母1094

附录1096

本书出现的外国数学家译名表1096