《数学物理偏微分方程》求取 ⇩

1绪论1

1.1 基本概念1

1.1.1 某些一般概念1

1.1.2 定解问题及其适定性4

1.1.3 广义解8

1.2 模型10

1.2.1 弦的横振动问题11

1.2.2 热传导问题和分子的扩散问题15

1.2.3 薄膜的横振动和平衡问题20

1.2.4 电磁波和稳定的电磁场21

1.2.5 固体弹性波24

1.2.6 流体波、声波方程和稳定的流场26

1.2.7 电报方程及定解条件28

1.3 二阶线性方程的分类和标准形式，特征的概念31

1.3.1 两个自变量时的分类和标准形式，特征曲线31

1.3.2 多个自变量时的分类，特征曲面40

1.3.3 多个自变量时常系数方程的标准形43

1.4 叠加原理和齐次化原理45

1.4.1 叠加原理(独立作用原理)45

1.4.2 齐次化原理(冲量原理)48

1.5 Cauchy-KOwalevski定理和H0lmgren定理52

习题一55

2通解法和球面平均法59

2.1 通解法59

2.1.1 两个自变量一阶线性方程的通解法59

2.1.2 一维波动方程的通解法(行波法)62

2.1.3 n个自变量一阶线性方程的通解法73

2.1.4 其它某些高阶方程的通解法76

2.2 球面平均法78

2.2.1 球面平均法，三维波动方程初值问题解的Poisson公式及后推势78

2.2.2 降维法，二维波动方程初值问题解的Poisson公式82

2.2.3 波动方程初值问题解的传播特性，柱面波的弥漫现象83

2.2.4 n维波动方程初值问题的解85

2.2.5 推广了的波动方程初值问题的解87

习题二89

3分离变量法和特殊函数92

3.1 两个自变量时的几个典型问题92

3.1.1 一维波动方程的混合问题92

3.1.2 一维热传导方程的混合问题104

3.1.3 二维调和方程和Poisson方程的边值问题106

3.1.4 杆和板的横振动和板的平衡114

3.2 常微分方程的固有值问题117

3.2.1 Stum-Liouville固有值问题理论117

3.2.2 分离变量法解两个自变量二阶线性方程定解问题的一般格式123

3.3 常微分方程的解析理论127

3.3.1 解析理论的几个定理127

3.3.2 超几何方程和合流超几何方程131

3.4 某些二阶常微分方程的解所定义的特殊函数137

3.4.1 Bessell方程和Bessell函数137

3.4.2 Legendre方程和Legendre函数146

3.4.3 伴随Legendre方程和伴随Legendre函数149

3.4.4 其它一些方程的解和固有值问题，正交多项式151

3.5 多个自变量时的分离变量法159

3.5.1 分离变量法概述，偏微分方程的固有值问题159

3.5.2 柱形域的混合问题或边值问题，柱函数166

3.5.3 球形域的混合问题或边值问题，球函数，球Bessell函数173

3.5.4 Helmholtz方程的边值问题，恒稳振动180

3.5.5 其它的—些问题183

习题三192

4积分变换法，广义函数和方程的基本解196

4.1 积分变换法196

4.1.1 基本的积分关系式和共轭微分算子196

4.1.2 积分变换198

4.1.3 积分变换解偏微分方程的一般原理202

4.1.4 用积分变换法求解的一些典型问题204

4.2.1 广义函数的引入，Diracδ-函数218

4.2 广义函数218

4.2.2 广义函数和广义函数的极限220

4.2.3 广义函数的支集和局部性质227

4.2.4 广义函数的某些简单运算229

4.2.5 广义函数的导数和对参变量的导数232

4.2.6 广义函数的折积238

4.2.7 广义函数的Fourier变换239

4.2.8 广义函数的Laplace变换243

4.3 基本解246

4.3.1 微分方程的基本解246

4.3.2 常系数线性方程初值问题的基本解253

4.3.3 常系数线性方程混合问题的基本解256

习题四260

5共轭算子法和Green函数265

5.1 常微分方程边值问题及其Green函数265

5.1.1 常微分方程边值问题和共轭边值问题265

5.1.2 边值问题的Green函数267

5.1.3 边值问题有解的相容性条件269

5.1.4 自共轭边值问题Green函数举例270

5.1.5 微分方程固有值问题和积分方程固有值问题的等价性273

5.2 偏微分方程边值问题及其Green函数274

5.2.1 三维调和方程第一边值问题及其Green函数274

5.2.2 三维调和方程第三边值问题及其Green函数282

5.2.3 三维调和方程第二边值问题的相容性条件及其广义的Green函数283

5.2.4 二维调和方程边值问题及其Green函数285

5.2.5 Helmholtz方程边值问题及其Green函数292

5.3 偏微分方程初值问题和混合问题的Gteen函数297

5.3.1 一维波动方程初值问题及其Green函数297

5.3.2 一维热传导方程初值问题及其Green函数301

5.3.3 一维热传导方程混合问题的Green函数303

5.4 Riemann方法和Riemann函数306

5.4.1 Riemann函数306

5.4.2 Riemann方法314

5.5 Kirchhoff公式及应用316

5.5.1 Kirchhoff公式317

5.5.2 三维波动方程初值问题解的Poisson公式318

习题五319

6积分方程法和位势理论及其应用324

6.1 线性积分方程的基本理论介绍324

6.1.1 基本概念和基本假设324

6.1.2 积分方程的某些基本理论介绍326

6.1.3 逐次逼近法和解核327

6.1.4 退化核的积分方程329

6.1.5 对称核的积分方程332

6.1.6 Velterra第二型积分方程334

6.1.7 Fredholm第一型积分方程334

6.2 三维位势理论和调和方程的边值问题335

6.2.1 位势理论介绍335

6.1.8 奇异积分方程335

6.2.2 调和方程的边值问题339

6.3 二维位势理论和调和方程的边值问题345

6.3.1 二维位势理论简介345

6.3.2 调和方程的边值问题347

6.4 Helmholtz方程对应的位势和边值问题352

6.4.1 三维Helmholtz方程的位势理论352

6.4.2 Helmholtz方程的边值问题353

6.4.3 化更一般形式的非齐次Helmholtz方程的边值问题为积分方程的另一方法355

6.5 抛物位势和热传导方程的混合问题356

6.5.1 抛物位势理论介绍356

6.5.2 利用位势解混合问题358

6.5.3 推广了的抛物位势和活动边界下热传导方程的混合问题359

6.5.4 高维抛物位势和高维热传导方程的混合问题362

习题六364

参考文献367

习题参考解答368