《偏微分方程》

前言1

第一章 绪论1

1 基本概念1

1.1 定义与例子1

1.2 迭加原理3

2 定解问题及其适定性概念4

2.1 定解条件与定解问题4

2.2 适定性概念6

3 二阶半线性方程的分类 标准型8

3.1 多个自变量情形8

3.2 两个自变量的二阶半线性方程化为标准型10

4 一阶拟线性方程18

4.1 特征线曲与积分曲面18

4.2 Cauchy问题19

习题24

1.1 单重积分情形26

1 变分问题26

第二章 定解问题的导出26

1.2 多重积分情形30

1.3 变分原理33

习题34

2 几个典型方程的导出35

2.1 均匀弦的横振动35

2.2 均匀膜的横振动37

2.3 位势方程38

2.4 热传导方程39

习题42

第三章 波动方程44

1 弦振动方程的Cauchy问题44

1.1 D’Alembert公式44

1.2 广义解46

1.3 波的传播 依赖区域、决定区域和影响区域47

1.4 混合问题的特征线法49

习题51

2.1 分离变量法53

2 有界弦的振动 分离变量法53

2.2 解的存在性56

2.3 解的物理意义57

2.4 解非齐次方程的固有函数法58

2.5 边界条件的齐次化60

3 Sturm-Liouville固有值理论62

3.1 固有函数的性质62

3.2 固有值与固有函数的存在性64

3.3 固有函数系的完备性69

习题77

4 高维波动方程的Cauchy问题80

4.1 球面平均法 Poisson公式80

4.2 二维波动方程的Cauchy问题 降维法84

4.3 依赖区域、决定区域和影响区域86

4.4 非齐次方程 推迟势87

4.5 Huygens原理 波的弥散90

习题92

5 能量积分 解的唯一性与稳定性93

5.1 薄膜振动的动能和位能94

5.2 能量等式 混合问题解的唯一性95

5.3 能量不等式 混合问题解的稳定性96

5.4 Cauchy问题解的唯一性101

习题101

第四章 热传导方程105

1 Cauchy问题105

1.1 Fourier变换及其性质105

1.2 Cauchy问题的求解109

1.3 解的存在性111

习题113

2 极值原理 定解问题解的唯一性与稳定性116

2.1 极值原理116

2.2 混合问题解的唯一性与稳定性117

2.3 Cauchy问题解的唯一性与稳定性118

2.4 例题120

习题127

1.1 Green公式 基本解129

第五章 调和方程129

1 Green公式及其应用129

1.2 平均值等式与不等式132

1.3 极大值和极小值原理133

1.4 第一边值问题解的唯一性与稳定性134

习题136

2 Green函数138

2.1 Green函数及其性质138

2.2 求Green函数的镜像法140

2.3 球上Dirichlet问题解的存在性143

2.4 调和函数的基本性质146

2.5 例题149

习题155

3 强极值原理 第二边值问题解的唯一性157

3.1 强极值原理157

3.2 第二边值问题解的唯一性159

习题160

4.1 共轭微分算子与共轭边值问题161

4 广义解的存在性161

4.2 弱微商及其简单性质164

4.3 空间H1与H？Friedrichs不等式168

4.4 广义解的存在性170

习题174

5 数学物理中的变分原理 位势方程的再讨论175

5.1 正算子与算子方程175

5.2 正定算子 变分问题广义解的存在性179

习题186

6 三个典型方程总结189

6.1 典型方程的共性189

6.2 典型方程的个性190

6.3 适定性问题讨论192

习题193

第六章 特征理论 一阶偏微分方程组194

1 方程的特征理论194

1.1 弱间断解与弱间断面194

1.2 特征方程与特征曲面196

2.1 弱间断解与特征线201

2 方程组的特征理论201

2.2 狭义双曲型方程组的标准型204

3 双曲型方程组的Cauchy问题206

3.1 解的存在性与唯一性206

3.2 解的稳定性209

3.3 依赖区域、决定区域和影响区域210

习题211

第七章 Cauchy-Kowalewski定理215

1 预备知识215

1.1 C-L型组215

1.2 Cauchy问题的化简216

1.3 强函数219

2 C-K定理的证明220

习题223

1 基本空间226

1.1 引言226

第八章 广义函数与基本解226

1.2 基本空间？(RN)和？(RN)228

1.3 基本空间？(RN)及其上的Fourier变换231

2 广义函数空间238

2.1 概念与例子238

2.2 广义函数的收敛性240

2.3 自变量的变换242

2.4 广义函数的微商与乘子244

2.5 广义函数的支集247

2.6 广义函数的卷积249

2.7 ？空间上的Fourier变换254

3 基本解257

3.1 基本解的概念257

3.2 热传导方程及其Cauchy问题的基本解260

3.3 波动方程Cauchy问题的基本解262

3.4 调和、重调和及多调和算子的基本解264

习题267

参考文献273