《高等数学》

第一篇分析引论1

第一章函数1

1.1 集合1

1.2 实数集——一维点集4

1.3 函数6

习题一10

第二章数列的极限12

2.1 数列及其变化趋势12

2.2 数列极限概念13

2.3 数列极限的性质16

2.4 数列极限的四则运算18

2.5 数列收敛的判别法20

习题二24

第三章函数的极限26

3.1 函数极限概念26

3.2 函数极限的性质与运算法则28

3.3 函数极限存在的判别法32

3.4 无穷小与无穷大35

习题三38

第四章连续函数40

4.1 函数的连续性与间断点40

4.2 连续函数的运算与初等函数的连续性43

4.3 闭区间上连续函数的性质45

习题四47

第二篇一元函数微积分49

第五章导数与微分49

5.1 导数49

5.2 求导法则54

5.3 隐函数及参数方程所确定的函数的导数60

5.4 微分62

5.5 高阶导数与微分65

习题五67

第六章微分中值定理及微分学的应用70

6.1 微分中值定理70

6.2 罗必塔(L′Hospital)法则74

6.3 泰勒(Taylor)公式78

6.4 函数的增减性与极值82

6.5 凸函数87

6.6 平面曲线的曲率89

习题六94

第七章积分98

7.1 定积分概念98

7.2 定积分的性质及中值定理104

7.3 微积分学基本定理107

7.4 不定积分110

7.5 积分的计算114

7.6 积分表的查法118

7.7 广义积分120

7.8 定积分应用举例127

习题七131

第三篇向量代数与空间解析几何136

第八章向量代数136

8.1 n 维空间136

8.2 向量139

8.3 向量的数量积144

8.4 向量的向量积146

习题八148

第九章空间解析几何150

9.1 曲面与空间曲线150

9.2 平面的方程151

9.3 空间直线的方程154

9.4 几种常见的曲面157

9.5 空间曲线的参数方程 投影柱面161

习题九163

第四篇多元函数微积分164

第十章多元函数的微分法164

10.1 多元函数的极限与连续164

10.2 偏导数与全微分168

10.3 复合函数的微分法174

10.4 隐函数的微分法177

10.5 微分法在几何上的简单应用180

10.6 向量值函数及其微分法183

10.7 方向导数与梯度186

10.8 泰勒公式188

习题十190

第十一章重积分与第一类线、面积分193

11.1 几何形体上的积分193

11.2 二重积分的计算196

11.3 三重积分的计算202

11.4 第一类曲线积分的计算204

11.5 第一类曲面积分的计算205

11.6 含参变量的积分208

习题十一211

第十二章第二类线、面积分及各种积分之间的关系214

12.1 第二类曲线积分214

12.2 第二类曲面积分217

12.3 各种积分之间的关系222

12.4 曲线积分与路径无关的问题227

习题十二230

第五篇无穷级数232

第十三章数项级数232

13.1 数项级数的概念和性质232

13.2 数项级数收敛性的判别235

13.3 级数的运算240

习题十三241

第十四章幂级数242

14.1 函数项级数的收敛性和一致收敛性242

14.2 幂级数244

14.3 函数展开成幂级数247

14.4 幂级数的应用250

习题十四251

第十五章傅立叶级数253

15.1 三角函数系的正交性253

15.2 以2π为周期的函数的傅立叶级数254

15.3 以2l 为周期的函数的傅立叶级数258

习题十五261

第六篇微分方程263

第十六章常微分方程的实例及基本概念263

16.1 引入常微分方程的典型问题263

16.2 基本概念266

习题十六268

第十七章线性方程及线性方程组270

17.1 一阶线性方程270

17.2 线性方程及线性方程组的通解结构272

17.3 高阶常系数线性方程276

17.4 常系数线性方程组281

17.5 变系数线性方程286

习题十七290

第十八章非线性方程及非线性方程组293

18.1 一阶非线性方程的解法293

18.2 高阶方程的解法297

18.3 方程组的解法299

18.4 一阶线性偏微分方程简介300

习题十八302

第七篇数值计算方法304

第十九章误差知识304

19.1 误差的基本知识304

19.2 利用泰勒公式估计误差305

19.3 算法稳定性问题305

习题十九306

第二十章代数插值308

20.1 拉格朗日插值公式308

20.2 插值余项309

20.3 分段插值310

20.4 三次样条插值311

习题二十313

第二十一章数值微分与数值积分315

21.1 数值微分315

21.2 数值积分315

习题二十一319

第二十二章常微分方程初值问题的数值解法321

22.1 建立数值方法的基本思想与途径321

22.2 龙格—库塔方法324

习题二十二326

第八篇最优化方法328

第二十三章最优化问题328

23.1 模型举例328

23.2 非线性规划的一般形式和有关概念331

23.3 最优性条件332

23.4 凸集、凸函数和凸规划的最优性条件337

习题二十三340

第二十四章无约束最优化方法343

24.1 一维搜索343

24.2 最速下降法和共轭梯度法346

24.3 牛顿法和拟牛顿法(变尺度法)349

24.4 信赖域法352

习题二十四353

第二十五章约束最优化方法355

25.1 梯度投影法、既约梯度法355

25.2 惩罚函数法362

25.3 复形法369

习题二十五370

第二十六章多目标最优化基本方法372

26.1 模型举例372

26.2 解的概念与性质373

26.3 评价函数法374

习题二十六375

上机练习题377

习题答案380

附录积分表401