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序言1

绪论数学三次危机与数学基础1

1 数学的第一次危机1

2 非欧几何的诞生4

3 数学的第二次危机8

4 数学的第三次危机12

5 数学基础的探讨17

第一章逻辑演算20

1 命题演算20

1.1 命题联结词、真值表与指派20

1.2 命题演算的公理系统33

1.3 命题演算的系统特征44

2 狭义谓词演算(上)47

2.1 谓词与函词47

2.2 量词与摹状词(附递归词)49

2.3 代入与替换55

3.1 狭义谓词演算的公理系统61

3 狭义谓词演算(下)61

3.2 狭义谓词演算的可证公式66

3.3 赋值、解释与指派76

3.4 狭义谓词演算的系统特性81

第二章自然数论(算术)89

1 自然数的皮亚诺公理系统89

2 递归定义问题106

3 算术的另一公理系统109

4 递归函数115

5 递归算术122

第三章数系的构造135

1 正负整数135

2 分数(有理数)141

3 实数146

4 复数166

第四章几何基础171

1 《几何原本》简介171

2 希尔伯特公理系统介绍178

3 质点几何学简介189

4 非欧几何224

第五章集合论简介236

1 基本概念与公理237

1.1 公理集合论公理系统237

1.2 空集、对偶集与幺元集239

2 集合代数及进一步性质241

2.1 集合代数241

2.2 ∩x 与 ∪x243

2.3 幂集245

2.4 卡氏积246

3 对应、关系与函数247

3.1 一般性质247

3.2 多一对应及函数250

3.3 关系的一些基本特性251

3.4 次序关系253

3.5 等价关系与分类255

4 等数与基数算术256

5 有穷集与无穷集261

6 自然数263

7 实数的构造270

8 超穷基数与超穷序数275

8.1 可数集与？？275

8.2 连续统与 c277

8.3 超穷序数278

第六章抽象公理系统280

1 二元运算，同构与同态281

2 盒与群286

3 准环及其加强292

4 准格及其加强296

5 模(矢量空间)与代数301

6 用各种公理系统来刻画自然数集等系统303

附录形式系统的不完备性311

1 哥德尔不完备性定理311

2 元数学的算术化320

参考文献325

索引328