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第1章 函数、极限与连续1

1 函数1

1.1 函数的定义1

1.2 几种特殊的函数5

1.3 复合函数与反函数8

1.4 基本初等函数及其图形10

1.5 初等函数17

习题19

2 函数的极限21

2.1 数列的极限21

2.2 函数的极限28

2.3 函数的左、右极限30

2.4 无穷小量及其基本性质31

2.5 无穷大量，无穷小量与无穷大量的关系33

2.6 无穷小量与极限的关系34

2.7 极限的四则运算34

2.8 无穷小的比较41

2.9 极限存在的判别准则及两个重要极限42

习题46

3 函数的连续性50

3.1 函数的连续性定义50

3.2 间断点及其分类53

3.3 基本初等函数的连续性54

3.4 初等函数的连续性56

3.5 闭区间上连续函数的基本性质57

习题59

第二章 一元函数微分学62

1 导数62

1.1 问题的提出62

1.2 导数的定义64

1.3 一些基本初等函数的导数67

1.4 求导法则70

1.5 隐函数的导数80

1.6 高阶导数82

1.7 参数方程所确定的函数的导数85

习题87

2 微分91

2.1 微分的定义91

2.2 微分的运算95

2.3 微分的应用98

习题100

3 微分中值定理与导数的应用102

3.1 拉格朗日中值定理102

3.2 洛必达法则104

3.3 函数的单调性判别法109

3.4 函数的极值112

3.5 函数的最大值与最小值115

3.6 曲线的凹向及拐点118

3.7 函数作图121

习题124

第3章 一元函数积分学129

1 不定积分129

1.1 不定积分的定义及性质129

1.2 不定积分的基本性质132

1.3 不定积分的基本公式133

习题136

2 积分法137

2.1 换元积分法137

2.2 分部积分法149

2.3 有理分式的不定积分153

2.4 三角函数有理式积分举例160

2.5 简单的无理函数积分举例163

2.6 积分表的使用164

习题166

3 定积分的定义、性质及计算169

3.1 问题的提出169

3.2 定积分的定义173

3.3 定积分的简单性质，中值定理175

3.4 牛顿-莱布尼兹公式179

3.5 定积分的换元法与分部积分法182

3.6 定积分的近似计算187

习题192

4 定积分的应用195

4.1 平面图形的面积195

4.2 曲线的弧长201

4.3 立体的体积205

4.4 物体的质量209

4.5 函数的平均值210

习题211

5 广义积分213

5.1 无穷积分213

5.2 瑕积分215

5.3 Γ函数218

习题219

第4章 无穷级数221

1 数项级数221

1.1 数项级数的收敛及其性质221

1.2 级数收敛的必要条件225

1.3 正项级数及收敛判别法227

1.4 交错级数及其收敛判别法233

1.5 绝对收敛与条件收敛235

习题237

2 幂级数240

2.1 函数项级数的一般概念240

2.2 幂级数及其收敛性241

2.3 幂级数的性质244

习题247

3 函数的幂级数展开式及应用247

3.1 函数的幂级数展开式247

3.2 初等函数的幂级数展开式251

3.3 幂级数的应用255

习题258

第5章 向量代数与空间解析几何259

1 空间直角坐标系259

1.1 空间点的直角坐标259

1.2 空间两点间的距离262

习题263

2 向量264

2.1 向量的概念264

2.2 向量的加减法与数乘向量265

2.3 向量的坐标表示268

2.4 向量的模与方向余弦271

2.5 向量的数量乘积273

2.6 向量的向量乘积276

习题279

3 平面与空间直线280

3.1 平面方程280

3.2 两平面间的位置关系285

3.3 空间直线方程286

3.4 空间两直线的位置关系289

3.5 直线与平面的位置关系291

习题293

4 简单曲面与空间曲线295

4.1 几种特殊类型的二次曲面295

4.2 空间曲线303

5 柱面坐标系与球面坐标系306

5.1 柱面坐标系306

5.2 球面坐标系307

习题308

第6章 多元函数微分学310

1 多元函数的一般概念310

1.1 多元函数的定义310

1.2 二元函数的定义域及几何表示311

1.3 二元函数的极限与连续性315

1.4 闭域上连续函数的性质319

习题319

2 偏导数与全微分321

2.1 偏导数的定义321

2.2 二元函数偏导数的几何意义325

2.3 高阶偏导数326

2.4 函数的全微分定义328

2.5 全微分在近似计算中的应用333

习题338

3 复合函数的偏导数339

3.1 复合函数的偏导数339

3.2 全导数346

3.3 隐函数的偏导数347

习题349

4 多元函数微分法的应用351

4.1 曲面的切平面和法线351

4.2 二元函数的极值356

4.3 条件极值与拉格朗日乘数法362

习题366

第7章 多元函数积分学368

1 二重积分368

1.1 二重积分的概念368

1.2 二重积分的性质373

1.3 二重积分的计算375

习题385

2 三重积分388

2.1 三重积分的概念388

2.2 三重积分的计算391

习题397

3 重积分的应用399

3.1 曲面面积399

3.2 重心401

习题404

4 曲线积分405

4.1 第一型曲线积分405

4.2 第二型曲线积分412

4.3 格林公式418

4.4 平面曲线积分与路径无关的条件422

习题429

第8章 常微分方程433

1 微分方程的一般概念433

1.1 常微分方程的一般概念433

1.2 偏微分方程简介436

习题438

2 一阶常微分方程439

2.1 可分离变量型微分方程439

2.2 齐次型微分方程441

2.3 一阶线性微分方程442

2.4 全微分方程446

习题449

3 二阶常微分方程450

3.1 几种特殊类型的二阶常微分方程450

3.2 二阶常系数线性齐次微分方程455

3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程460

3.4 微分方程的幂级数解法（贝塞尔函数）464

习题469

4 微分方程的应用471

4.1 微分方程在化学中的应用举例471

4.2 微分方程在物理中的应用举例474

习题479

附录 简明积分表481