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第一部分　微分方程式1

单号习题答案1

索引1

第○章　绪论　3

第一章　一阶微分方程式13

1.0 引言13

1.1 可分离的方程式14

1.2 可分离微分方程式之应用18

1.3 齐次和“近乎齐次”方程式24

1.4 恰当微分方程式33

1.5 积分因子和柏努利方程式41

1.6 线性一阶微分方程式52

1.7 黎卡廸方程式57

1.8 RL和RC电路63

1.9 存在性、唯一性及毕卡德迭代法70

1.10　等斜线、方向场与图解75

1.11　正交轨迹和斜交轨迹79

第二章　线性二阶微分方程式97

2.0 引言97

2.1 线性二阶微分方程式：解的存在性及唯一性98

2.2 线性齐次二阶微分方程式的理论101

2.3 y″+ Ay′+By=0的通解若A2-4B≥0110

2.4 复指数函数的背景115

2.5 y″+ Ay′+By=0的通解，若A2-4B＜0117

2.6 质块联结于弹簧上的阻尼和无阻尼自由运动122

2.7 线性非齐次二阶微分方程式的理论129

2.8 寻求y″+P(x)y′+Q(x)y=F（x）的特解134

2.9 系于弹簧上之质块的强迫振荡分析145

2.10 RLC电路和强迫阻尼弹簧运动的对比154

2.11 降阶法158

2.12 欧拉方程式163

2.13 各方法的摘要172

第三章　高阶微分方程式183

3.0 引言183

3.1 理论上的考虑187

3.2 求解y(？)+A？-1y(？-1)+…+A1y′+A0y=0194

3.3 解y(？)+A？-1y(？-1)+…+A1y′+A0y=F(x)199

3.4 N阶欧拉型方程式206

3.5 解法摘要211

3.6 微分运算子212

第四章 拉普拉氏转换219

4.0 引言219

4.1 拉普拉氏转换的定义219

4.2 计算拉普拉氏转换228

4.3 计算逆拉普拉氏转换式：第一部分247

4.4 计算逆拉普拉氏转换式：第二部分——海夫塞德展开式262

4.5 以拉普拉氏转换解典型的工程问题271

4.6 摺积283

4.7 积分方程式、移位和混合数据问题及单位脉冲290

4.8 以拉普拉氏转换解具有多项式系数的微分方程式300

第五章　微分方程式的级数解321

5.1 引言321

5.2 幂级数复习321

5.3 微分方程式的幂级数解330

5.4 弗氏法344

第六章　贝索函数与雷建德多项式、史特姆-李吾维尔理论、本征函数展开式及振荡359

6.0 引言359

6.1 整数阶的贝索函数359

6.2 非整数阶贝索函数381

6.3 雷建德多项式391

6.4 史特姆-李吾维尔理论和本征函数展开400

6.5 史特姆分隔定理和史特姆比较定理419

第七章　线性系统、非线性系统和稳定性433

7.0 引言433

7.1 使用微分运算子，藉消去法求解线性系统433

7.2 以拉普拉氏转换求解方程式系统441

7.3 非线性系统、相位平面、临界点和稳定性445

第八章　微分方程式史摘要469

第九章 向量与向量空间471

第二部分　向量与矩阵　471

9.1 向量的代数学与几何学473

9.0 简介473

9.2 向量的点积483

9.3 向量的叉积495

9.4 纯量三重积与向量恒等式503

9.5 向量空间Rn509

9.6 线性独立与维数517

9.7 本章补充：抽象向量空间523

10.1　矩阵的符号表示法与代数学526

10.0　简介535

第十章　矩阵与行列式535

10.2　矩阵乘法与晶体中的漫步547

10.3　某些特殊矩阵553

10.4 基本列运算与基本矩阵558

10.5 矩阵的简化型566

10.6 矩阵的秩574

10.7 线性方程组的解：齐次的情况579

10.8 非齐次线性方程组的解590

10.9 反矩阵600

10.10　行列式：定义与基本性质607

10.11　求行列式值的演算622

10.12　行列式在电路上的应用632

10.13　反矩阵的行列式公式636

10.14　克拉玛法则：方程组的行列式解639

10.15　本征值与本征向量643

10.16　本征值与本征向量的计算观点648

10.17　本征值在微分方程组上的应用650

10.18　对角化656

10.19　对角化在微分方程组上的应用668

10.20　实数对称矩阵的本征值与本征向量680

10.21　正交矩阵与实数对称矩阵的对角化684

10.22　正交矩阵在实数二次式上的应用689

10.23　么正矩阵、赫密特矩阵与反赫密特矩阵695