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第一章 函数1

第一节 函数概念1

一、常量与变量1

二、函数的定义1

第二节 函数的表示法和函数的特性4

一、函数的三种表示法4

二、分段函数、整自变量函数与反函数5

三、函数的几种特性7

第三节 初等函数9

一、基本初等函数9

二、复合函数12

三、初等函数13

第四节 函数关系的建立14

一、代数方法14

二、插值法15

三、经验公式17

第五节 曲线的直线化与对数坐标纸19

一、曲线的直线化19

二、函数尺与对数坐标纸22

第二章 函数的极限与连续30

第一节 函数的极限概念30

一、x→∞时函数的极限30

二、x→x0时函数的极限33

第二节 无穷小与无穷大37

一、无穷小与无穷大的概念37

二、无穷小定理38

第三节 极限的四则运算法则40

第四节 极限存在准则与两个重要极限42

一、准则Ⅰ与lim x→0 sinx/x43

二、准则Ⅱ与lim x→∞ (1+1/x)44

三、无穷小量的阶47

第五节函数的连续性49

一、函数的连续概念49

二、间断点及其分类50

三、初等函数的连续性53

四、闭区间上连续函数的性质54

第三章 导数与微分60

第一节 导数的概念60

一、两个实例60

二、函数的导数61

三、函数的连续性与可导性的关系64

第二节 几个基本初等函数的导数65

一、常数的导数65

二、幂函数的导数65

三、正弦函数及余弦函数的导数66

四、对数函数的导数66

第三节 函数四则运算的导数67

第四节 复合函数的导数69

第五节 反函数的导数与隐函数的导数73

一、反函数的导数73

二、隐函数的导数74

三、导数公式的汇集75

第六节 高阶导数76

第七节 导数的近似计算77

一、图解法77

二、解析法78

第八节 微分79

一、微分及其几何意义79

二、函数四则运算的微分81

三、一阶微分形式的不变性81

第九节 由参数方程所确定函数的导数82

第十节 微分的应用84

一、近似计算84

二、误差估计85

第四章 导数在函数研究上的应用90

第一节 中值定理90

一、罗尔定理90

二、拉格朗日中值定理91

三、柯西中值定理92

第二节 洛必达法则94

第三节 泰勒公式97

一、用多项式近似表示函数97

二、泰勒公式99

第四节 函数的单调性101

第五节 函数的极值103

一、极值的求法104

二、最大值和最小值107

第六节 曲线的凹凸和拐点109

一、凹凸和拐点的概念及判定法109

二、函数图形的描绘111

第七节 方程的近似解(切线法)113

第五章 不定积分118

第一节 原函数与不定积分的概念118

第二节 基本积分公式和不定积分性质120

一、基本积分公式120

二、不定积分的性质121

第三节 换元积分法124

第四节 分部积分法131

第五节 有理函数与无理函数的积分举例133

一、有理函数的积分举例133

二、简单无理函数的积分举例135

第六节 积分表的使用法137

第六章 定积分及其应用143

第一节 定积分的概念143

一、两个实例143

二、定积分的定义144

第二节 定积分的性质146

第三节 牛顿—莱布尼兹公式149

一、可变上限的定积分149

二、牛顿—莱布尼兹公式151

第四节 定积分的计算方法154

一、换元积分法154

二、分部积分法156

三、定积分的近似计算158

第五节 定积分的应用161

一、几何应用161

二、物理应用167

第六节 广义积分和Γ函数169

一、无穷区间上的广义积分169

二、被积函数有无穷型不连续点的广义积分171

三、Γ函数172

第七章 微分方程177

第一节 微分方程的基本概念177

第二节 一阶微分方程179

一、可分离变量的微分方程179

二、一阶线性微分方程181

三、二阶微分方程求解举例184

第三节 二阶常系数线性微分方程185

一、线性微分方程解的结构185

二、二阶常系数齐次线性微分方程187

三、二阶常系数非齐次线性微分方程191

四、线性微分方程组举例194

第四节 微分方程的拉普拉斯变换解法196

一、拉普拉斯变换的概念和性质196

二、微分方程的拉氏变换解法197

第五节 微分方程在药学中的应用199

一、微分方程在化学动力学中的应用199

二、微分方程在药物动力学中的应用202

第六节 微分方程的数值解206

一、欧拉折线法和改进欧拉法207

二、龙格—库塔法210

第八章 空间解析几何向量代数214

第一节 空间直角坐标系214

一、空间点的直角坐标214

二、空间两点间的距离215

第二节 向量代数216

一、向量的概念216

二、向量的加减法、数乘向量216

三、向量的坐标218

四、两向量的数量积221

五、两向量的向量积223

第三节 空间曲面和曲线225

一、曲面及其方程225

二、柱面227

三、空间曲线及其方程228

四、空间曲线在坐标面上的投影229

第四节 空间平面230

第五节 空间直线及其方程232

第六节 二次曲面235

一、椭球面235

二、单叶双曲面236

三、双叶双曲面236

四、椭圆抛物面237

五、双曲抛物面238

六、椭圆锥面238

第九章 多元函数微分学244

第一节 多元函数的极限和连续244

一、多元函数的概念244

二、二元函数的极限245

三、二元函数的连续性246

第二节 偏导数247

一、一阶偏导数248

二、高阶偏导数250

第三节 全微分及其应用252

一、全微分的概念和计算252

二、全微分在误差估计中的应用255

第四节 方向导数与梯度257

一、方向导数257

二、梯度258

第五节 复合函数和隐函数的求导方法259

一、复合函数的求导法则259

二、隐函数的求导公式262

第六节 多元函数微分学的两个几何应用264

一、空间曲线的切线和法平面264

二、曲面的切平面和法线266

第七节 二元函数的泰勒公式与方程组的数值解268

一、二元函数的泰勒公式268

二、二元方程组的数值解270

第八节 极值和条件极值271

一、多元函数极值的概念和求法271

二、条件极值的拉格朗日乘数法274

第十章 重积分282

第一节 二重积分的概念和性质282

一、二重积分的概念282

二、二重积分的性质283

第二节 二重积分的计算284

一、利用直角坐标系计算二重积分284

二、利用极坐标计算二重积分289

第三节 二重积分的应用292

一、曲面的面积293

二、平面薄片的重心294

三、平面薄片的转动惯量295

第四节 三重积分296

一、三重积分的概念296

二、三重积分的计算296

三、三重积分的应用300

第十一章 曲线积分和曲面积分305

第一节 对弧长的曲线积分305

一、对弧长的曲线积分的概念及性质305

二、对弧长的曲线积分的计算306

第二节 对坐标的曲线积分308

一、对坐标的曲线积分的概念和性质308

二、对坐标的曲线积分的计算310

三、两类曲线积分之间的关系313

第三节 格林公式及其应用313

一、格林公式313

二、平面曲线积分与路径无关的条件316

第四节 曲面积分318

一、对面积的曲面积分318

二、对坐标的曲面积分320

三、高斯公式323

第十二章 无穷级数328

第一节 数项级数328

一、无穷级数的基本概念328

二、无穷级数的基本性质330

三、正项级数的收敛判别法332

四、交错级数、莱布尼兹判别法336

五、绝对收敛和条件收敛337

第二节 幂级数340

一、函数项级数的一般概念340

二、幂级数及其收敛性341

三、幂级数的运算343

第三节 函数展开为幂级数45

一、泰勒级数345

二、初等函数的幂级数展开式346

第四节 幂级数的应用349

一、泰勒级数在近似计算上的应用349

二、欧拉公式350

第五节 傅里叶级数351

一、三角函数系的正交性351

二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数352

三、函数展开为正弦级数或余弦级数357

四、周期为2T函数的傅里叶级数358

五、傅里叶级数的复数形式360

第六节 非周期函数的频谱分析365

附表Ⅰ 简明积分表372

附表Ⅱ 拉氏变换简表376

附录Ⅰ 汉英名词对照377

附录Ⅱ 习题答案384

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