《高等数学 第2版 下》

第八章多元函数微分法及其应用1

第一节多元函数的基本概念1

一、多元函数概念1

二、二元函数的极限5

三、二元函数的连续性8

习题8-111

第二节偏导数12

一、偏导数的定义及其计算法12

二、高阶偏导数16

习题8-219

第三节全微分及其应用20

一、全微分的定义20

二、全微分在近似计算中的应用24

习题8-327

第四节多元复合函数的求导法则28

习题8-433

第五节隐函数的求导公式34

一、一个方程的情形34

二、方程组的情形37

习题8-540

第六节偏导数的几何应用41

一、空间曲线的切线与法平面41

二、曲面的切平面与法线45

习题8-648

第七节方向导数与梯度49

一、方向导数49

二、梯度51

习题8-756

第八节多元函数的极值及其求法56

一、多元函数的极值及最大值、最小值56

二、条件极值拉格朗日乘数法62

习题8-865

第九节二元函数的泰勒公式66

一、二元函数的泰勒公式66

二、极值充分条件的证明71

习题8-973

第十节最小二乘法73

习题8-1080

第九章重积分81

第一节二重积分的概念与性质81

一、二重积分的概念81

二、二重积分的性质85

习题9-187

第二节二重积分的计算法88

一、利用直角坐标计算二重积分88

习题9-2（1）96

二、利用极坐标计算二重积分98

习题9-2（2）104

三、二重积分的换元法106

习题9-2（3）111

第三节二重积分的应用112

一、曲面的面积113

二、平面薄片的重心116

三、平面薄片的转动惯量118

习题9-3119

第四节三重积分的概念及其计算法120

习题9-4124

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分125

一、利用柱面坐标计算三重积分125

二、利用球面坐标计算三重积分127

习题9-5132

第六节含参变量的积分133

习题9-6140

第十章曲线积分与曲面积分141

第一节曲线积分的概念与性质141

一、对弧长的曲线积分的概念141

二、对坐标的曲线积分的概念143

三、曲线积分的性质146

习题10-1147

第二节曲线积分的计算法148

一、对弧长的曲线积分的计算法148

二、对坐标的曲线积分的计算法152

三、两类曲线积分之间的联系157

习题10-2159

第三节格林公式及其应用161

一、格林公式161

二、平面上曲线积分与路径无关的条件164

三、二元函数的全微分求积167

习题10-3171

第四节曲面积分的概念与性质173

一、对面积的曲面积分173

二、对坐标的曲面积分174

三、曲面积分的性质179

习题10-4179

第五节曲面积分的计算法180

一、对面积的曲面积分的计算法180

二、对坐标的曲面积分的计算法184

三、两类曲面积分之间的联系186

习题10-5187

第六节高斯公式 通量与散度189

一、高斯公式189

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件193

三、通量与散度194

习题10-6197

第七节斯托克斯公式 环流量与旋度198

一、斯托克斯公式198

二、空间曲线积分与路径无关的条件202

三、环流量与旋度203

习题10-7206

第十一章无穷级数207

第一节常数项级数的概念和性质207

一、常数项级数的概念207

二、无穷级数的基本性质210

三、级数收敛的必要条件213

四、柯西审敛原理214

习题11-1215

第二节常数项级数的审敛法217

一、正项级数及其审敛法217

二、交错级数及其审敛法224

三、绝对收敛与条件收敛225

习题11-2231

第三节广义积分的审敛法 Γ-函数232

一、广义积分的审敛法232

二、Γ-函数238

习题11-3240

第四节幂级数241

一、函数项级数的一般概念241

二、幂级数及其收敛性242

三、幂级数的运算247

习题11-4250

第五节函数展开成幂级数251

一、泰勒级数251

二、函数展开成幂级数253

习题11-5260

第六节函数的幂级数展开式的应用260

一、近似计算260

二、欧拉公式265

习题11-6267

第七节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质268

一、函数项级数的一致收敛性268

二、一致收敛级数的基本性质272

习题11-7277

第八节傅立叶级数278

一、三角级数 三角函数系的正交性278

二、函数展开成傅立叶级数281

习题11-8289

第九节正弦级数和余弦级数289

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数289

二、函数展开成正弦级数或余弦级数294

习题11-9296

第十节周期为2l的周期函数的傅立叶级数296

习题11-10300

第十一节傅立叶级数的复数形式300

习题11-11303

第十二章微分方程305

第一节微分方程的基本概念305

习题12-1310

第二节可分离变量的微分方程311

习题12-2318

第三节齐次方程319

一、齐次方程319

二、可化为齐次的方程323

习题12-3325

第四节一阶线性微分方程326

一、线性方程326

二、贝努利方程330

习题12-4331

第五节全微分方程332

习题12-5335

第六节欧拉-柯西近似法336

习题12-6339

第七节可降阶的高阶微分方程340

一、y(n)=f（x）型的微分方程340

二、y″=f（x,y′）型的微分方程342

三、y″=f（y,y′）型的微分方程346

习题12-7349

第八节高阶线性微分方程及其解的结构350

一、二阶线性微分方程举例350

二、线性微分方程的解的结构353

习题12-8356

第九节二阶常系数齐次线性微分方程357

习题12-9367

第十节二阶常系数非齐次线性微分方程368

一、f(x)=eλxPm（x）型369

二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型372

习题12-10376

第十一节欧拉方程377

习题12-11379

第十二节微分方程的幂级数解法举例379

习题12-12384

第十三节常系数线性微分方程组解法举例384

习题12-13387