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附录1 参考资料1

第一篇 常微分方程式1

索引1

附录4 表1

附录3 补充教材1

附录2奇数题的解答1

第一章 一阶微分方程式3

1.1 基本概念与观念4

附录1 参考资料5

附录4 表7

索引11

附录3补充教材13

1.2 可分离方程式15

1.3 模式化：可分离方程式20

1.4 可化为可分离型之方程式31

1.5 恰当微分方程式35

附录2奇数题的解答37

1.6 积分因子40

1.7 线性微分方程式44

1.8 模式化：电路52

1.9 曲线族：正交轨线60

1.10 近似解：方向场，迭代法67

1.11 解之存在性与唯一性73

第一章 复习题80

第一章 一阶微分方程：摘要83

第二章 线性微分方程式87

2.1 二阶齐次线性方程式89

2.2 常数系数齐次方程式94

2.3 通解，基底，初值问题97

2.4 特性方程式之实根，复根以及重根105

2.5 微分算子114

2.6 模式化：自由振动117

2.7 尤拉-柯西方程式130

2.8 解之存在性与唯一性135

2.9 任意n阶齐次线性方程式141

2.10 任-n阶之常数系数方程式146

2.11 非齐次方程式152

2.12 非齐次方程式：以未定系数法求解156

2.13 模式化：强迫振动(或振荡)，谐振(共振)161

2.14 电路的模式化169

2.15 求特解之复数法175

2.16 非齐次方程式：以参数变化法求解179

第二章 中定理之更深入的证明182

第二章 复习题185

第二章 线性微分方程式：摘要187

第三章 微分方程组，相平面，稳定性191

3.1 微分方程组192

3.2 相平面202

3.3 临界点，稳定性208

第三章 复习题219

第三章 微分方程组，相平面，稳定性：摘要221

第四章 微分方程式之幂级数解，正交函数223

4.1 幂级数解法225

4.2 幂级数法之理论基础229

4.3 勒壤得方程式，勒壤得多项式P？(X)237

4.4 推广的幂级数法，指标方程式243

4.5 贝色方程式，第一类贝色函数255

4.6 第二类贝色函数264

4.7 正交函数集合270

4.8 司徒木-吕维耳问题279

4.9 勒壤得多项式与贝色函数之正交性285

第四章 进一步的证明292

第四章 复习题296

第四章 微分方程式的级数解·正交函数：摘要297

第五章 拉卜拉士变换法301

5.1 拉卜拉士变换，反变换，线性303

5.2 导数与积分之拉卜拉士变换310

5.3 s-轴上之移换，t-轴上之移换，单位阶梯函数319

5.4 进一步的应用，笛拉克得尔他函数327

5.5 变换之微分与积分334

5.6 褶积(褶合式)，积分方程式338

5.7 部分分式346

5.8 周期函数，更进一步的应用358

5.9 拉卜拉士变换之基本的一般公式369

5.10 拉卜拉士变换之表列371

第五章 复习题373

第五章 拉卜拉士变换：摘要376

第二篇线性代数，向量微积分379

第六章 向量381

6.1 纯量与向量382

6.2 向量之分量384

6.3 向量加法，向量与纯量的乘法388

6.4 向量空间392

6.5 内积(点积)401

6.6 内积空间409

6.7 向量积(叉积)412

6.8 用分量表示的向量积416

6.9 纯量三重积，其他连乘积421

第六章 进一步证明426

第六章 复习题428

第六章 向量：摘要430

第七章 矩阵与行列式433

7.1 基本概念435

7.2 矩阵的加法，纯量(数)与矩阵的乘法438

7.3 矩阵乘法444

7.4 一矩阵的转置矩阵457

7.5 线性方程组，高斯消去法462

7.6 矩阵之秩474

7.7 线性方程组：解的一般性质479

7.8 反矩阵483

7.9 二阶及三阶之行列式490

7.10 任意阶的行列式498

7.11 用行列式所表示之秩，克莱默法则507

7.12 固有值，固有向量514

7.13 厄米特矩阵，反厄米特矩阵与单元矩阵526

7.14 厄米特，反厄米与特与单元矩阵之固有值532

7.15 固有向量的性质，对角化538

7.16 线性微分方程组547

第七章 进一步的证明557

第七章 复习题559

第七章 矩阵与行列式：摘要564

第八章 向量微分学567

8.1 纯量场与向量场568

8.2 向量微积分571

8.3 曲线575

8.4 切线，弧长580

8.5 速度与加速度586

8.6 曲线的曲率与扭率(选读)591

8.7 多变数函数的链锁法则与均值定理595

8.8 方向导数，纯量场之梯度601

8.9 向量场之散度610

8.10 向量场之旋度614

8.11 曲线坐标上的梯度，散度，旋度(选读)617

第八章 进一步的证明625

第八章 复习题629

第八章 向量微分学：摘要631

第九章 线与面对分，积分定理635

9.1 线积分636

9.2 双重积分644

9.3 变换双重积分为线积分(平面上的格林定理)654

9.4 面积分的曲面661

9.5 曲面积分668

9.6 三重积分，高斯散度定理681

9.7 散度定理之进一步应用688

9.8 史托克定理695

9.9 与路径无关之线积分702

第九章 复习题714

第九章 线与曲面积分，积分定理：摘要716

第三篇傅立叶分析与偏微分方程式719

第十章 傅立叶级数、傅立叶积分、傅立叶变换721

10.1 周期函数，三角级数723

10.2 傅立叶级数726

10.3 任意周期p=2L的函数735

10.4 偶函数与奇函数739

10.5 半幅展开式744

10.6 不用积分的傅立叶系数求法(跳跃法)749

10.7 强迫振动756

10.8 利用三角多项式之近似法，平方误差760

10.9 傅立叶积分764

10.10 傅立叶余弦变换，傅立叶正弦变换774

10.11 傅立叶变换780

10.12 公式表：傅立叶余弦变换式、傅立叶正弦变换式与傅立叶变换式788

第十章 复习题791

第十章 摘要：傅立叶级数、傅立叶积分、傅立叶变换793

第十一章 偏微分方程式797

11.1 基本概念799

11.2 模式化：振动之弦，一维波动方程式802

11.3 分离变数法(乘积法)804

11.4 波动方程式之达朗白解法813

11.5 热传导818

11.6 在无限长之杆内的热传导830

11.7 模式化：振动之薄膜，二维波动方程式836

11.8 长力形薄膜838

11.9 极坐标之拉卜拉士运算848

11.10 圆形薄膜，贝色方程式852

1l.11 拉卜拉士方程式，位势论860

11.12 球面坐标之拉士方程式，勒壤得方程式864

11.13 应用于偏微分方程式之拉卜拉士变换法871

11.14 应用于偏微分方程式之傅立叶变换876

第十一章 复习题882

第十一章 摘要：偏微分方程式885

第四篇复变分析889

第十二章 复数、复解析函数891

12.1 复数892

12.2 复数的极式，乘幂与根号899

12.3 在复数平面内之曲线与区域907

12.4 极限，导数，解析函数910

12.5 柯西-里曼方程式917

12.6 指数函数925

12.7 三角函数与双曲线函数929

12.8 对数，一般乘幂934

12.9 特殊函数的映射939

第十二章 进一步的证明945

第十二章 复习题947

第十二章 摘要：复数、复解析函数948

第十三章 复数积分951

13.1 复数平面上的线积分953

13.2 两种积分方法、例子957

13.3 柯西积分定理964

13.4 不定积分的存在性973

13.5 柯西积分公式976

13.6 解析函数的导数981

第十三章 进一步的证明986

第十三章 复习题989

第十三章 摘要：复数积分990

第十四章 幂级数、泰勒级数、罗伦级数993

14.1 数列与级数995

14.2 级数之收敛试验999

14.3 幂级数1007

14.4 幂级数所表示之函数1014

14.5 泰勒级数1021

14.6 初等函数之泰勒级数1026

14.7 求幂级数之实用方法1029

14.8 一致收敛1034

14.9 罗伦级数1044

14.10 奇点与零根，在无穷远处1052

第十四章 进一步的证明1060

第十四章 复习题1064

第十四章 摘要：幂级数、泰勒级数、罗伦级数1065

第十五章 留数积分法1069

15.1 留数1070

15.2 留数定理1076

15.3 实数积分之计算1079

15.4 其他型式的实数积分1084

第十五章 复习题1091

第十五章 摘要：留数积分法1092

第十六章 保角映射1095

16.1 保角映射1097

16.2 线性分式变换1102

16.3 特殊线性分式变换1108

16.4 其他函数之映射1114

16.5 里曼曲面1120

第十六章 复习题1125

第十六章 摘要：保角映射1126

第十七章 应用于位势论的复变分析1129

17.1 静电场1131

17.2 保角映射的使用1137

17.3 热流问题1142

17.4 流体流动1147

17.5 帕松积分公式1156

17.6 谐和函数之一般性质1161

第十七章 进一步的证明1166

第十七章 复习题1167

第十七章 摘要：应用于位势论的复变分析1168

第五篇数值方法1171

第十八章 一般的数值方法1173

18.1 简介1175

18.2 用迭代法解方程式1183

18.3 内?法1197

18.4 曲线规1212

18.5 数值积分法与微分法1221

18.6 渐近展开式1233

第十八章 复习题1245

第十八章 摘要：一般的数值方法1247

第十九章 线性代数的数值方法1251

19.1 线性方程组：高斯消去法1252

19.2 线性方程组：LU分解、反矩阵1263

19.3 线性方程耝：利用迭代法求解1268

19.4 线性方程组：恶劣条件，模1276

19.5 最小平方法1286

19.6 矩阵固有值问题：导论1290

19.7 矩阵固有值之有关课题1294

19.8 以迭代法[乘幂法]决定固有值1301

19.9 矩阵的降阶1305

19.10 Householder三重对角化与QR-因子分解1309

第十九章 复习题1321

第十九章 摘要：线性代数的数值方法1324

第二十章 微分方程式的数值方法1329

20.1 一阶微分方程式之方法1331

20.2 多阶段法1342

20.3 二阶微分方程式之方法1346

20.4 椭圆偏微分方程式之数值方法1353

20.5 纽曼和混合问题，不规则边界1364

20.6 抛物线方程式的文法1370

20.7 双曲线方程式的方法1377

第二十章 复习题1381

第二十章 摘要：微分方程式的数值方法1384

第六篇最佳化，图形论1387

第二十一章 未受限的最佳化，线性规划1389

21.1 基本概念，未受限的最佳化1390

21.2 线性规划1394

21.3 单体法1398

21.4 单体法：退化，起始的困境1404

第二十一章 复习题1411

第二十一章 摘要：未受限的最佳化，线性规划1412

第二十二章 图形论与组合最佳化1415

22.1 图形与有向图形1417

22.2 最短路径问题，复杂性1423

22.3 贝尔曼最佳化原则，Dijkstra演算程序1430

22.4 最短扩张树，Kruskal贪婪的演算程序1434

22.5 最短扩张树的Prim演算程序1440

22.6 网路，流量变动路径1443

22.7 最大流量之福特-福克森演算程序1451

22.8 双枝匹配1456

第二十二章 复习题1463

第二十二章 摘要：图形论与组合最佳化1465

第七篇机率与统计1469

第二十三章 机率理论1471

23.1 随机实验，结果，事件1472

23.2 机率的概念1478

23.3 排列与组合1485

23.4 随机变数，离散分配与连续分配1492

23.5 一分配的平均数班变异数1500

23.6 二项、帕松与超几何分配1505

23.7 常态分配1512

23.8 多个随机变数主分配1520

第二十三章 复习题1531

第二十三章 摘要：机率理论1533

第二十四章 数学统计1537

24.1 统计学的本质与目的1539

24.2 随机抽样，随机数1541

24.3 样本的处理1543

24.4 样本平均数与样本变异数1551

24.5 参数的估计1555

24.6 信赖区间1559

24.7 假设之检定，决策1571

24.8 品质管制1585

24.9 允收抽样1591

24.10 拟合的适合度，x2-检定1598

24.11 无母数检定1602

24.12 成对的测量，直线的拟合1605

第二十四章 复习题1612

第二十四章 摘要：数学统计1615