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第一章常微分方程式1

1.1 微分方程式之重要性1

1.2 基本术语2

1.3 一阶方程式5

1.4 变数可予分开之方程式9

1.5 恰当方程式15

1.6 积分因子20

1.7 一阶线性方程式24

1.8 一阶线性方程式之应用25

1.9 复数33

1.10 复数值函数35

1.11 常系数二阶线性方程式（齐次情形）38

1.12 常系数二阶线性方程式（非齐次情形）45

1.13 参数变值法51

1.14 常系数二阶线性方程式之应用53

1.15 常系数高阶线性方程式66

1.16 线性空间与线性运算子72

1.17 一般线性方程式75

1.18 非线性微分方程式77

第二章无穷级数80

2.1 导言80

2.2 数列：收歛与发散81

2.3 界限数列，单调数列83

2.4 无穷级数87

2.5 几何级数89

2.6 第n项试验90

2.7 对级数之一般注释92

2.8 积分试验94

2.9 比较试验97

2.10 绝对收歛与条件收歛：交错级数99

2.11 比率试验104

2.12 根值试验106

2.13 计算总和时之概估误差108

2.14 函数之数列与级数110

2.15 均匀收歛116

2.16 幂级数之特性121

2.17 幂级数更多之运算123

2.18 具有余数之Taylor公式126

2.19 具有数个变数之函数所采用之幂级数与Taylor公式128

2.20 复项级数131

2.21 幂级数对积分，及其他问题之应用136

2.22 微分方程式之幂级数解139

2.23 奇异点处之线性微分方程式解144

第三章Fourier级数154

3.1 导言154

3.2 三角级数与Fourier级数156

3.3 Fourier级数之收歛164

3.4 Fourier余弦级数，Fourier正弦级数171

3.5 周期之改变175

3.6 均值收歛，Bessel不等式，Parseval关系179

3.7 Fourier级数之复形式183

3.8 Fourier函数对频率反应之应用185

3.9 正交函数193

3.10 内积与范数197

3.11 Gram-Schmidt处理过程199

3.12 Legendre多项式202

3.13 其他正交系统208

3.14 Sturm-Liouville问题210

3.15 高维中之正交系统213

4.1 导言217

第四章运算微积分217

4.2 Laplace变换式218

4.3 Laplace变换式之特性220

4.4 例题223

4.5 Laplace变换更广阔之定义：复数观点229

4.6 部分分式232

4.7 Laplace反变换式235

4.8 褶积239

4.9 广义函数242

4.10 广义函数之Laplace变换246

4.11 Laplace变换式在线性微分方程式中之应用250

4.12 广义函数之Laplace变换式在线性微分方程式中之应用255

4.13 Fourier变换式261

4.14 Fourier变换式之特性265

4.15 Fourier变换式之理论269

4.16 Fourier反变换式273

4.17 Fourier变换与Laplace变换之关系276

4.18 褶积278

4.19 广义函数之Fourier变换式280

4.20 Fourier变换式在线性方程式中之应用283

4.21 广义函数之Fourier变换式在线性微分方程式中之应用291

4.22 Parseval定理与能量谱294

第五章矩阵与线性代数298

5.1 导言298

5.2 行列式301

5.3 矩阵303

5.4 矩阵加法，纯量乘矩阵305

5.5 矩阵乘法308

5.6 方矩阵之反式316

5.7 方矩阵之特徵值324

5.8 n维空间Rn中之向量332

5.10 自Rn至Rm之线性映像332

5.9 线性独立334

5.11 矩阵或线性映像之秩341

5.12 线性方程式系统之理论342

5.13 线性方程式系统之技巧360

5.14 求方矩阵方程式之反式364

5.15 转置366

5.16 正交矩阵369

5.17 一般向量空间376

5.18 线性映像381

第六章常微分方程式389

6.1 一般概念389

6.2 线性系统：一般理论393

6.3 常系数齐次线性系400

6.4 常系数非齐次线性系404

7.6 摆型方程式407

6.5 对电路网之应用408

6.6 Laplace变换式之应用412

6.7 变数更换法417

6.8 振动之正规方式420

6.9 推广424

6.10 对电路网作更多之应用427

6.11 稳定、转移矩阵、与频率反应矩阵434

6.12 谐振439

第七章非线性微分方程式443

7.1 相位平面443

7.2 守恒系统450

7.3 平衡点附近各轨线之结构456

7.4 周期性解；极限周；稳定性465

7.5 van der Pol方程式468

7.7 竞争总体，Volterra模式475

7.8 非线性系统强迫振荡478

7.9 非连续性系统482

第八章偏微分方程式之介绍487

8.1 物理学中偏微分方程式之起源487

8.2 一般概念与典型问题490

8.3 分离变数法：一维波动方程式494

8.4 波动方程式之解；行进波与定波501

8.5 波动方程式之其他边界条件505

8.6 一维热量方程式510

8.7 热量方程式之其他问题513

8.8 矩形Laplace方程式518

8.9 圆形区域之Dirichlet问题523

8.10 Poisson积分公式525

8.11 其他区域之Dirichlet问题526

8.12 Laplace与Fourier变换式之应用527

8.13 高维问题532

附录542