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目录1

第一章 引论1

1.1 概率论的对象1

1.2 简短的历史7

第二章 概率论的基本概念13

2.1 事件，事件的概率13

2.2 概率的直接计算14

2.3 事件的频率或事件的统计概率18

2.4 随机变量22

2.5 实际不可能和实际必然事件，实际推断原理24

第三章 概率论的基本定理27

3.1 基本定理的应用，事件的和与积27

3.2 概率的加法定理31

3.4 全概率公式46

3.5 理想事件定理（巴叶斯公式）49

第四章 重复实验53

4.1 重复实验的特殊定理53

4.2 重复实验的一般定理55

第五章 随机变量和分布律62

5.1 分布列，分布多边形62

5.2 分布函数67

5.4 分布密度75

5.3 随机变量落在给定区间上的概率78

5.5 随机变量的数字特征，它们的作用和用途81

5.6 位置特征（数学期望，众数，中位数）82

3.3 概率的乘法定理87

5.7 矩，方差，均方差89

5.8 均匀密度律101

5.9 波阿松律104

6.1 正态分布律及其参数111

第六章 正态分布律111

6.2 正态分布律的矩115

6.3 服从正态分布律的随机变量落在给定区间上的概率，拉普拉斯函数117

16.3 由典型分解给出的随机函数的线性变换119

6.4 概率偏差，简化的拉普拉斯函数120

第七章 用实验数据来确定随机变量的分布律127

7.1 数理统计的基本问题127

7.2 简单的统计集，统计分布函数129

7.8 统计表，直方图132

7.4 统计分布的数字特征135

7.5 统计表的修匀138

7.6 适度的准则145

第八章 随机变量系155

8.1 随机变量系的概念155

8.2 二维随机变量系的分布函数156

8.3 二维随机变量系的分布密度160

8.4 系中个别量的分布律，条件分布律165

8.5 相关随机变量和独立随机变量168

8.6 两个随机变量所成的系的数字特征，相关短，相关系数172

8.7 任意多个随机变量所成的系179

8.8 随机变量系的数字特征182

第九章 多维随机变量的正态分布律185

9.1 平面上的正态分布律185

9.2 扩散椭圆，正态分布律的标准形式190

9.3 落在边平行于扩散主轴的长方形上的概率193

9.4 落在扩散椭圆上的概率196

9.5 击中任意形状的目标的概率199

9.6 空间的正态分布律203

第十章 随机变量的函数的数字特征208

10.1 函数的数学期望，函数的方差208

10.2 关于数字特征的定理217

10.8 数字特征定理的应用229

第十—章 函数的线性化251

11.1 随机变量函数的线性化法251

11.2 一个随机变量的函数的线性化252

11.3 多个随机变量的函数的线性化254

11.4 线性化法的精确化259

笫十二章随机变量函数的分布律263

12.1 一个随机变量的单调函数的分布律263

12.2 正态分布变量的线性函数的分布律266

12.3 一个随机变量的非单调函数的分布律267

12.4 两个随机变量函数的分布律270

12.5 两个随机变量和的分布律，分布律的卷积272

12.6 正态律的卷积277

12.7 具有正态分布的随机变量的线性函数281

12.8 平面上正态律的卷积282

第十三章 概率论的极限定理289

13.1 大数法则及中心极限定理289

13.2 切贝舍夫不等式290

13.3 大数法则（切贝舍夫定理）293

13.4 拓广的切贝舍夫定理，马尔柯夫定理296

13.5 大数法则的推论：贝努利定理和波阿松定理299

13.6 大量随机现象和中心极限定理301

13.7 特征函数303

13.8 用随机变量的特征函数来表示它的分布密度305

13.9 李雅普诺夫不等式308

13.1 0李雅普诺夫定理310

13.1 1李雅普诺夫定理的公式表示及其实际应用，拉普拉斯定理316

第十四章 实验的处理323

14.1 在观察次数有限时实验处理的特殊性，随机变量数字特征之估计323

14.2 置信限和置信概率327

14.3 随机变量系的数字特征的估计333

14.4 射击的处理343

14.5 在最小二乘法的意义下实验相关的光滑化348

第十五章 随机函数理论的基本概念372

15.1 随机函数的概念372

15.2 随机函数的概念作为随机变量系概念的推广，随机函数的分布律376

15.3 随机函数的特征379

15.4 由实验来确定随机函数的特征386

15.5 由原来的随机函数特征确定变换后的随机函数特征的方法388

15.6 线性和非线性运算子，动力学系统运算子390

15.7 随机函数的线性变换396

15.8 随机函数的和403

15.9 复随机函数406

16.1 典型分解方法的概念，把随机函数表示成基本随机函数之和411

第十六章 随机函数的典型分解411

16.2 随机函数的典型分解416

16.4 随机函数典型分解的实际方法424

第十七章 平稳随机函数433

17.1 平稳随机过程的概念433

17.2 在有限时间区间上平稳随机函数的谱展式，方差谱442

17.3 在无限时间区间上平稳随机函数的谱展式，平稳随机函数的谱密度446

17.4 复数形式的随机函数谱分解454

17.5 平稳线性系统中的平稳随机函数的变换464

17.6 应用平稳随机过程的理论来解决动力学系统的分析综合问题472

17.7 平稳随机函数的各态历经性质475

17.8 由一个现实定出平稳随机函数的各态历经性质479

附录一 各种函数数值表487

附录二 正态分布的扩散网络497