《泛函分析讲义 （上册）》

第一章　度量空间1

1 压缩映象原理1

2 完备化10

3 列紧集14

4 线性赋范空间20

4.1　线性空间21

4.2　线性空间上的距离22

4.3　范数与Banach空间26

4.4　线性赋范空间上的模等价31

4.5　应用（最佳逼近问题）34

4.6　有穷维B＊空间的刻划37

5 凸集与不动点43

5.1　定义与基本性质43

5.2　Brouwer与Schauder不动点定理49

5.3　应用51

6 内积空间53

6.1　定义与基本性质53

6.2　正交与正交基59

6.3　正交化与Hilbert空间的同构64

6.4　再论最佳逼近问题66

6.5　应用69

最小二乘法69

曲线光顺与样条函数71

第二章 线性算子与线性泛函78

1 线性算子的概念78

1.1　线性算子和线性泛函的定义78

1.2　线性算子的连续性和有界性79

2 Riesz定理及其应用83

Laplace方程-△u=f狄氏边值问题的弱解85

变分不等式87

3 纲与开映象定理89

3.1　纲与纲推理90

3.2　开映象定理93

3.3　闭图象定理99

3.4　共鸣定理100

3.5　应用102

Lax-Milgram定理102

Lax等价定理103

4　Hahn-Banach定理107

4.1　线性泛函的延拓定理108

4.2　几何形式——凸集分离定理114

4.3　应用120

抽象可微函数的中值定理120

凸规划问题的Lagrange乘子121

凸泛函的次微分124

5.1　共轭空间的表示及应用（Runge定理）127

5 共轭空间·弱收敛·自反空间127

5.2　共轭算子137

5.3　弱收敛及＊弱收敛141

5.4　弱列紧性与＊弱列紧性146

6 线性算子的谱153

6.1　定义与例154

6.2 Γельфанд定理157

第三章　广义函数与Соболев空间165

1 广义函数的概念168

1.1　基本空间？（Ω）168

1.2　广义函数的定义和基本性质171

1.3　广义函数的收敛性174

2 B0空间177

3 广义函数的运算186

3.1　广义微商186

3.2　广义函数的乘法189

3.3　平移算子与反射算子189

4 ？′上的Fourier变换191

5 Соболев空间与嵌入定理197

1 紧算子的定义和基本性质207

第四章　紧算子与Fredholm算子207

2 Riesz-Fredholm理论215

3 紧算子的谱理论（Riesz-Schauder理论）223

3.1　紧算子的谱224

3.2　不变子空间225

3.3　紧算子的结构227

4　Hilbert-Schmidt定理231

5 对椭圆型方程的应用239

6 Fredholm算子243

符号表255