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线性代数2

第一章 行列式与n阶线性方程组2

1.1线性方程组的概念2

目录2

1.2三阶行列式及其性质5

（一）三阶行列式及其展开式5

（二）三阶行列式的性质5

（Laplace）展开式12

（二）n阶行列式的概念和计算12

（三）拉普拉斯定理12

（一）三阶行列式的拉普拉斯12

1.3n阶行列式12

1.4解n阶线性方程组的克莱姆法则26

习题一32

第二章 n维向量*36++2.1向量及其基本运算36

（一）n维向量的概念36

（二）n维向量的运算42

2.2向量组的线性相关性42

（一）线性相关和线性无关42

（二）线性组合42

（三）线性相关与线性组合的关系42

（四）线性相关性的一些判别法42

2.3n维向量空间47

习题二53

3.1矩阵的概念57

（一）实例57

（二）矩阵的定义57

第三章 矩阵57

（三）一些特殊的矩阵65

（四）方阵的行列式和非奇异方阵*65++3.2矩阵的秩65

（一）矩阵的秩及其求法之一65

（二）矩阵的初等变换和秩的求法之二74

习题三74

（三）方阵的正整数次幂76

（六）线性变换的矩阵写法76

（五）方阵乘积的行列式76

（四）矩阵乘积的转置76

（一）矩阵相等76

（二）矩阵的乘法76

4.1矩阵的乘法76

第四章 矩阵的运算76

4.2矩阵的加法和数与矩阵的乘法86

（一）矩阵的加法86

（二）数与矩阵的乘法86

（三）矩阵的减法86

（五）正交矩阵和正交变换88

（四）关于逆阵运算的若干结果88

（三）逆阵的求法之二88

（二）逆阵的求法之一88

4.3逆阵及其求法88

（一）逆阵的概念88

4.4分块矩阵及分块求逆105

（一）分块矩阵的概念105

（二）分块矩阵的运算112

（三）矩阵的分块求逆112

（四）其他类型的分块矩阵112

4.5函数矩阵的微分、积分大意112

（一）函数矩阵的概念112

习题四115

（二）函数矩阵的微分法115

（三）函数矩阵的积分115

第五章 线性方程组120

5.1线性方程组120

（一）方程组120

（1.1.1）的相容性及其判别法120

（二）相容线性方程组的解法之一——行列式解法120

（三）相容线性方程组的解法之二——消去法120

（二）n阶齐次线性方程组132

（1.1.2）的解法132

（1.1.4）的解法132

5.2齐次线性方程组132

（四）n阶线性方程组的解法132

（一）齐次线性方程组132

5.3非齐次线性方程组的解的结构138

习题五140

（三）二次型的矩阵表达式143

（三）惯性定律143

（一）二次型经过线性变换后的矩阵143

（二）二次型在满秩线性变换下的标准形式143

（一）二次型的概念143

6.1二次型及其矩阵表达式143

笫六章二次型和矩阵的特征值143

（二）二次型的标准形式143

6.2化二次型为标准形式的拉格朗日方法148

6.3有定二次型161

（一）有定二次型的概念161

（一）相似矩阵的概念与性质165

（二）二次型在正交变换下的标准形式矩阵的特征值165

6.4二次型在正交变换下的标准形式矩阵的特征值165

（二）有定二次型的判别法165

6.5方阵和它的特征多项式的关系176

（一）方阵多项式及其性质176

（二）哈密顿－凯莱定理184

（三）哈密顿－凯莱定理的应用举例184

习题六184

7.1线性空间的概念186

第七章 线性空间简介186

7.2线性空间的基、维数和子空间188

7.3线性空间的线性变换203

7.4爱尔密特矩阵和酉矩阵211

习题七215

第八章 张量概念220

8.1和式的简洁记号与应用220

8.2张量定义225

（一）逆变张量225

（二）协变张量225

（一）张量加法229

（二）张量乘法229

8.3张量运算229

（三）混合张量229

（三）张量缩法233

（四）矩阵的追迹233

习题答案233

计算方法240

第一章 误差知识240

1.1绝对误差、有效数字、相对误差241

1.2和、差、积、商的误差估计244

（一）和、差的误差估计244

习题一247

（二）积、商的误差估计247

第二章 方程的近似解法248

2.1对分法252

2.2迭代法254

2.3牛顿法259

习题二263

第三章 线性代数计算方法264

3.1解线性方程组的精确法264

（一）主元素消去法264

（二）无回代过程的主元素消去法264

（二）用主元素消去法求逆矩阵275

（三）用主元素消去法求行列式的值275

（一）用主元素消去法解线性方程组系275

3.2主元素消去法的应用275

3.3解线性方程组的迭代法279

（一）简单迭代法及其收敛条件279

（二）赛德尔迭代法及其收敛条件279

（三）化方程组AX=B为便于使用迭代法的形式279

34矩阵特征值的计算方法293

（一）求绝对值最大的特征值的幂法293

（二）求解实对称矩阵特征值问题的雅可比方法习题三312

第四章 插值法314

4.1线性插值与二次插值316

（一）均差的概念均差表320

4.2均差、均差插值公式320

（二）均差插值多项式329

（三）插值多项式的余项329

4.3等距结点插值公式、差分329

（一）差分概念与差分表329

（二）差分与均差及导数的关系329

（三）等距结点插值公式329

4.4拉格朗日插值多项式335

（二）系数用节点处的二阶导数表示的三次样条函数341

（三）系数用节点处的一阶导数表示的三次样条函数341

（一）三次样条函数的定义341

4.5三次样条插值341

（四）解三对角线方程组的追赶法习题四355

第五章 曲线拟合与最小二乘法355

5.1最小二乘法355

5.2多项式拟合359

习题五365

第六章 数值微分与数值积分366

6.1数值微分366

（一）用插值多项式求数值导数366

（二）用三次样条函数求数值导数366

（五）线性加速法龙贝格求积公式369

（四）步长的自动选择369

（三）求积公式的截断误差369

（二）复化求积公式369

（一）牛顿－柯特斯公式369

6.2数值积分369

（六）高斯求积公式习题六396

第七章 常微分方程初值问题的数值解法397

7.1欧拉折线法与改进的欧拉方法397

（一）欧拉折线法397

（二）改进的欧拉方法404

（三）公式的截断误差404

7.2龙格－库塔方法404

（三）计算中估计误差的一种方法409

（二）阿当姆斯外插公式409

（一）阿当姆斯内插公式409

7.3阿当姆斯方法409

（四）求开头三个点的函数值的方法习题七416

第八章 偏微分方程的差分解法417

8.1椭圆型方程的差分解法介绍418

（一）微分方程的差分近似的建立418

（二）边界条件的转换418

（三）差分方程的解法及解的收敛性讨论418

8.2用差分法求解热传导方程431

8.3波动方程的差分解法介绍440

习题八445

习题答案446