《高等数学基本教程 3 积分与级数》

第一章计算原函数的实用方法1

1.1 引言1

1.2 换元2

1.3 分部积分的应用3

1.4 例4

1.5 同时应用两个基本方法10

1.6 第一类简单被积函数的原函数12

1.7 第二类简单被积函数的原函数13

1.8 特殊方法14

1.9 例15

1.10 有理函数与指数函数的复合函数20

练习21

第二章三角积分23

2.1 一般方法23

2.2 例24

2.3 特殊方法27

2.4 形如Ip,a=∫cospxsinqxdx的原函数，其中p和q都是整数28

2.5 形如Im=∫sinmxdx和Jm=∫cosmxdx的原函数，其中m是自然数29

2.6 形如In=∫dx/cosnx及Jn=∫dx/sinnx的原函数，其中n为非零自然数32

2.7 例33

2.8 形如In=∫tgnxdx的原函数，其中n是整数35

2.9 Wallis积分36

练习38

第三章阿贝尔积分40

3.1 形如I=∫dx/？的原函数40

3.2 例41

3.3 形如I=∫dx/(px+q)？的原函数42

3.4 形如I=∫？的原函数43

3.5 例44

3.6 形如I=∫R(x,？)dx的原函数，其中R是两个未定元的有理分式45

3.7 例46

3.8 形如I=∫R(x,？)dx的原函数，其中R是两个未定元的有理分式47

3.9 例47

练习48

第四章有限展开50

4.1 控制关系50

4.2 相似关系51

4.3 优势关系52

4.4 等价关系53

4.5 在无穷大邻域的函数的比较58

4.6 有限展开的定义59

4.7 例62

4.8 有限展开的积分63

4.9 泰勒－杨公式64

4.10 例66

4.11 常用函数的有限展开67

4.12 复合函数的有限展开68

4.13 主部70

4.14 求主部的例子71

练习72

第五章不定型的研究74

5.1 概论74

5.2 应用主部的例子75

5.3 导数的应用80

5.4 应用有限展开的例子82

练习85

6.1 在形如［a,+∞］的区间上的积分87

第六章广义积分87

6.2 非负实值函数的情况90

6.3 绝对收敛和半收敛93

6.4 广义积分的计算方法94

6.5 在形如［-∞,b］的区间上的积分96

6.6 整个区间R上的积分96

6.7 非有界函数的积分100

6.8 函数在积分限内变为无限的情形103

练习104

7.1 定义107

第七章数值级数107

7.2 几何级数108

7.3 从某一序号开始定义的级数109

7.4 关于级数的线性运算109

7.5 级数的项的有限集合的改变110

7.6 收敛的必要条件111

7.7 柯西准则112

7.8 级数和的计算112

7.9 非负实数级数的比较114

7.10 非负实数级数的直接比较115

7.11 级数与积分的比较116

7.12 柯西法则118

7.13 黎曼法则120

7.14 级数的对数比较121

7.15 达朗贝尔法则122

7.16 绝对收敛124

7.17 交错级数124

7.18 最后注意126

练习128

第八章整级数130

8.1 函数级数130

8.2 简单收敛和一致收敛130

8.3 一致收敛级数的性质132

8.4 收敛区间133

8.5 例134

8.6 整级数的导数和积分135

8.7 整级数的代数运算136

8.8 可展成整级数的函数138

8.9 麦克劳林级数140

8.10 复变数函数143

8.11 二项式级数144

8.12 整级数的和147

8.13 在数值级数上的应用149

练习150

第九章傅立叶级数152

9.1 三角级数152

9.2 正交函数154

9.3 傅立叶级数155

9.4 勒热纳－狄利克雷定理157

9.5 任意周期的情况159

9.6 傅立叶系数的实际计算160

9.7 三角锯齿状函数164

9.8 锯齿状函数166

9.9 矩形信号168

9.10 整流为交流半周的电流169

9.11 几个电学结果171

9.12 傅立叶级数的复数形式172

9.13 锯齿状函数的复数展开174

9.14 指数信号175

9.15 整流成两个交流半周的电流176

9.16 导数的傅立叶系数178

9.17 原函数的傅立叶系数180

9.18 平移的傅立叶系数181

9.19 线性运算183

9.20 卷积183

9.21 帕斯瓦尔等式184

9.22 记号186

9.23 频谱187

9.24 谱包络曲线189

9.25 信号的分析191

9.26 梯形信号的分析192

9.27 矩形信号的分析194

9.28 三角形信号的分析197

9.29 正弦脉冲信号的分析199

练习202

10.1 卷积方程207

10.2 傅立叶变换207

第十章傅立叶变换207

10.3 傅立叶反演公式209

10.4 例209

10.5 偶函数或奇函数的情况211

10.6 基本运算212

10.7 卷积213

10.8 积214

10.9 帕斯瓦尔等式215

第一章216

练习解答216

第二章222

第三章226

第四章233

第五章239

第六章246

第七章254

第八章259

第九章267

常用原函数277

常用整级数展开279