《高等数学教程 下》

第15章空间解析几何与向量代数1

15.1空间直角坐标系1

15.1.1 空间直角坐标系的概念1

15.1.2 空间点的直角坐标2

15.1.3 两点间的距离3

15.1.4 线段的定比分点4

15.2向量代数6

15.2.1 向量概念6

15.2.2 向量的加减法7

15.2.3 向量与数的乘法9

15.3向量的坐标10

15.3.1 向量在轴上的投影10

15.3.2 分向量与向量的坐标12

15.3.3 向量的模与方向余弦14

15.4向量的数量积、向量积、混合积16

15.4.1 两向量的数量积16

15.4.2 两向量的向量积19

15.4.3 向量的混合积23

15.5空间的直线与平面26

15.5.1 平面的方程27

15.5.2 两平面的相互关系31

15.5.3 点到平面的距离32

15.5.4 空间的直线方程33

15.5.5 平面与直线间的关系、平面束39

15.6几种常见的二次曲面43

15.6.1 柱面、投影柱面44

15.6.2 球面47

15.6.3 锥面48

15.6.4 旋转曲面50

15.6.5 椭球面51

15.6.6 双曲面53

15.6.7 抛物面55

15.7坐标轴的变换59

15.7.1 坐标轴的平移59

15.7.2 坐标轴的旋转60

15.8曲面方程与曲线方程63

15.8.1 曲面的一般方程与参数方程63

15.8.2 曲线的一般方程与参数方程65

15.8.3 曲线在坐标面上的投影66

15.8.4 曲线的一般方程与参数方程的互化67

第16章多元函数微分学71

16.1多元函数71

16.1.1 平面点集71

16.1.2 R2的几个基本定理77

16.1.3 多元函数的基本概念79

16.2多元函数的极限与连续性83

16.2.1 多元函数的极限83

16.2.2 多元函数的连续性90

16.2.3 有界闭区域上连续函数的性质93

16.3偏导数与全微分95

16.3.1 偏导数及高阶偏导数的概念和计算96

16.3.2 全微分102

16.3.3 方向导数113

16.4复合函数微分法119

16.4.1 链锁法则119

16.4.2 一阶全微分形式的不变性127

16.4.3 高阶全微分128

16.5隐函数存在定理与隐函数微分法131

16.5.1 一个方程、一个自变量情形132

16.5.2 一个方程、n（n≥2）个自变量的情形135

16.5.3 方程组的情形137

16.5.4 变量代换145

16.6多元函数微分学在几何中的应用149

16.6.1 空间曲线的切线与法平面149

16.6.2 曲面的切平面与法线154

16.7多元函数极值159

16.7.1 二元函数泰勒公式159

16.7.2 多元函数极值的必要条件与充分条件164

16.7.3 最小二乘法170

16.7.4 条件极值、拉格朗日乘数法173

第17章重积分179

17.1二重积分179

17.1.1 二重积分的概念与性质179

17.1.2 二重积分的计算183

17.2三重积分204

17.2.1 三重积分的概念204

17.2.2 三重积分的计算206

17.2.3 n重积分218

17.3重积分的应用224

17.3.1 几何上的应用224

17.3.2 物理中的应用229

第18章曲线积分与曲面积分236

18.1曲线积分236

18.1.1 第一型曲线积分的概念、性质及计算236

18.1.2 第二型曲线积分的概念、性质及计算243

18.1.3 两类曲线积分之间的联系249

18.2格林公式、平面曲线积分与路径无关的条件255

18.2.1 格林公式255

18.2.2 平面曲线积分与路径无关的条件262

18.3由面积分267

18.3.1 第一型曲面积分的概念、性质及计算268

18.3.2 第二型曲面积分的概念、性质及计算271

18.4高斯公式、斯托克斯公式281

18.4.1 高斯公式281

18.4.2 斯托克斯公式287

18.4.3 空间曲线积分与路径无关的条件291

18.5微分形式简介294

18.5.1 外积294

18.5.2 外微分300

18.5.3 牛顿－莱布尼兹公式的一般化304

第19章向量分析、场论与微分几何初步309

19.1向量值函数的分析性质309

19.1.1 向量值函数的极限与连续309

19.1.2 向量值函数的导数与积分311

19.2数量场与向量场316

19.2.1 数量场的等值面与梯度317

19.2.2 算符？的介绍320

19.2.3 向量场的向量线321

19.2.4 向量场的通量与散度322

19.2.5 向量场的环量与旋度327

19.2.6 保守场等几个重要的向量场333

19.2.7 在正交曲线坐标系中？φ,？·F,？×F的表达式336

19.3空间曲线的基本知识341

19.3.1 预备知识341

19.3.2 曲线的弧长与活动标架343

19.3.3 曲线的曲率、挠率与弗雷耐公式352

19.4空间曲面的基本知识360

19.4.1 曲面的表示、参数变换、切平面360

19.4.2 曲面的第一基本形式365

19.4.3 曲面的法曲率、曲面的第二基本形式369

第20章无穷级数376

20.1数项级数376

20.1.1 基本概念376

20.1.2 收敛级数的性质379

20.1.3 哥西收敛准则382

20.1.4 正项级数的收敛判别法384

20.1.5 任意项级数的收敛判别法392

20.1.6 绝对收敛与条件收敛398

20.2函数项级数408

20.2.1 函数项级数的一致收敛409

20.2.2 一致收敛级数的分析性质418

20.3幂级数424

20.3.1 幂级数的收敛半径425

20.3.2 收敛半径的求法428

20.3.3 幂级数的分析性质431

20.4泰勒级数436

20.4.1 泰勒级数的概念及性质437

20.4.2 初等函数的泰勒展开式440

20.4.3 幂级数的某些应用447

第21章含参变量的积分452

21.1含参变量的常义积分453

21.1.1 积分限固定的情形453

21.1.2 积分限变动的情形458

21.2含参变量的广义积分460

21.2.1 一致收敛的概念460

21.2.2 一致收敛的判别法462

21.2.3 一致收敛的含参变量的广义积分的性质465

21.2.4 Г－函数与B－函数（欧拉积分）470

21.2.5 几个重要的例子476

第22章傅立叶级数480

22.1傅立叶级数480

22.1.1 三角函数系的正交性481

22.1.2 以T为周期的函数的傅立叶级数483

22.1.3 傅立叶级数的收敛性486

22.1.4 奇、偶函数的傅立叶级数493

22.1.5 有限区间上的函数的傅立叶级数495

22.1.6 将函数展为正弦级数与余弦级数500

22.2复数形式的傅立叶级数507

22.2.1 复数形式的傅氏级数507

22.2.2 频谱分析511

22.3平均平方误差516

22.3.1 平均平方误差516

22.3.2 帕斯瓦尔（Parseval等式520

第23章一阶常微分方程528

23.1微分方程的基本概念528

23.1.1 微分方程528

23.1.2 微分方程的解530

23.2一阶微分方程533

23.2.1 可分离变量的一阶方程533

23.2.2 可化为变量分离方程的一阶方程535

23.3一阶线性微分方程539

23.3.1 一阶线性微分方程的概念539

23.3.2 伯努利（Bernoulli）方程542

23.4全微分方程543

23.4.1 全微分方程的基本概念543

23.4.2 积分因子法545

23.5一阶微分方程解的存在惟一性定理548

23.5.1 存在惟一性定理549

23.5.2 逐次逼近法与误差估计555

23.6一阶隐微分方程557

23.6.1 可就y或x解出的方程557

23.6.2 不显含y或x的方程560

23.6.3 奇解562

23.7 一阶微分方程应用举例565

第24章高阶常微分方程569

24.1几类特殊的高阶方程570

24.1.1 类型y(n)=f(x)570

24.1.2 类型F（x,y(n)）=0571

24.1.3 类型y(n)=f（y(n-1)）571

24.1.4 类型y(n)=f（y(n-2)）572

24.2n阶线性常微分方程574

24.2.1 基本概念574

24.2.2 n阶齐次线性方程解的结构576

24.2.3 n阶非齐次线性方程的通解582

24.2.4 降阶法和常数变易法583

24.3高阶常系数线性微分方程587

24.3.1 二阶常系数齐次线性方程588

24.3.2 二阶常系数非齐次线性方程591

24.3.3 n阶常系数线性方程596

24.3.4 欧拉方程601

24.4 应用举例604

24.5微分方程的幂级数解法613

24.5.1 概述613

24.5.2 常点的情形616

24.5.3 正则奇点的情形618

第25章常微分方程组623

25.1标准方程组623

25.1.1 标准方程组的概念623

25.1.2 标准方程组的向量形式与存在惟一性定理625

25.1.3 首次积分627

25.2线性微分方程组的一般理论633

25.2.1 齐次线性微分方程组解的结构635

25.2.2 基本解矩阵639

25.2.3 非齐次线性方程组解的结构640

25.3常系数线性微分方程组644

25.3.1 常系数齐次线性方程组的求解644

25.3.2 常系数非齐次线性方程组的求解655

附录1 常系数非齐次线性微分方程的算子解法657

附录2 常微分方程的数值解法668

第26章一阶偏微分方程677

26.1偏微分方程的基本概念677

26.1.1 概念和记号677

26.1.2 与常微分方程的比较678

26.2一阶线性及拟线性偏微分方程680

26.2.1 特征线680

26.2.2 哥西问题683

26.2.3 线性及拟线性偏微分方程的通解686

26.3 法夫（Pfaff）方程689

第27章定性理论基础简介698

27.1 自治系统、相空间与轨线698

27.2二维自治系统的平衡点700

27.2.1 线性系统的初等奇点701

27.2.2 非线性系统的初等奇点707

27.3 二维自治系统的极限环708

27.4自治系统平衡点的稳定性713

27.4.1 稳定性定义714

27.4.2 据线性近似系统判断稳定性715

27.4.3 李雅普诺夫（Liapunov）直接法718

习题答案721

参考书目757