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第一篇 空间解析几何与线性代数1

第一章 集合、关系、映射与运算1

1.1 集合的概念1

1.2 笛卡尔积和关系4

1.3 映射的概念8

1.4 运算及其性质10

第二章 行列式15

2.1 行列式的定义与性质15

2.2 行列式的计算22

2.3 克莱姆法则28

第三章 矩阵32

3.1 矩阵的概念及运算32

3.2 逆矩阵39

3.3 矩阵的初等变换和初等矩阵44

3.4 分块矩阵50

第四章 三维向量与空间解析几何58

4.1 向量的几何表示和运算58

4.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示63

4.3 向量的数量积、向量积与混合积70

4.4 平面及其方程76

4.5 空间直线及其方程81

4.6 曲面及其方程88

4.7 二次曲面94

4.8 空间曲线及其方程99

第五章 n维向量与线性方程组103

5.1 线性方程组的高斯消元法103

5.2 n维向量及其线性相关性105

5.3 向量组的秩与矩阵的秩110

5.4 齐次线性方程组解的结构117

5.5 非齐次线性方程组的解120

5.6 主元高斯消去法124

第六章 矩阵的特征值、特征向量与二次型127

6.1 矩阵的特征值与特征向量.相似矩阵127

6.2 向量的内积.正交矩阵131

6.3 实对称矩阵的对角化135

6.4 二次型及其标准形139

6.5 正定二次型144

第七章 线性空间与欧氏空间148

7.1 线性空间148

7.2 线性变换及其矩阵表示153

7.3 欧氏空间163

单元自测题166

第二篇 一元微积分170

第八章 函数、极限与连续170

8.1 函数概念170

8.2 反函数、复合函数及初等函数176

8.3 极限概念184

8.4 无穷小与无穷大194

8.5 极限的四则运算196

8.6 夹逼准则及两个重要极限201

8.7 无穷小的比较205

8.8 函数的连续性208

9.1 导数概念217

第九章 导数与微分217

9.2 求导法则222

9.3 隐函数和由参数方程确定的函数的导数231

9.4 高阶导数236

9.5 函数的微分239

9.6 微分的应用244

第十章 微分中值定理与导数的应用247

10.1 微分中值定理247

10.2 罗必达法则252

10.3 泰勒公式257

10.4 函数的增减性与极值261

10.5 曲线的凹凸性及拐点，函数图形的描绘269

10.6 弧微分.曲率276

第十一章 不定积分281

11.1 不定积分的概念和性质281

11.2 换元积分法286

11.3 分部积分法296

11.4 几种特殊类型函数的积分301

11.5 积分表的使用309

12.1 定积分的概念312

第十二章 定积分及其应用312

12.2 定积分的性质316

12.3 微积分基本定理319

12.4 定积分的换元法与分部积分法324

12.5 定积分的几何应用331

12.6 定积分在物理上的应用340

12.7 平均值343

12.8 广义积分346

单元自测题350

第三篇 多元微积分354

第十三章 多元函数微分学354

13.1 多元函数的基本概念354

13.2 二元函数的极限与连续性358

13.3 偏导数361

13.4 全微分及其应用366

13.5 多元复合函数的求导法则371

13.6 隐函数的求导公式376

13.7 微分法在几何上的应用380

13.8 方向导数与梯度384

13.9 多元函数的极值388

13.10 二元函数的泰勒公式394

第十四章 重积分398

14.1 二重积分的概念与性质398

14.2 二重积分在直角坐标系中的计算法402

14.3 二重积分在极坐标系中的计算法409

14.4 二重积分的应用414

14.5 三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法419

14.6 三重积分在柱面坐标系、球面坐标系中的计算法423

14.7 重积分的换元法428

第十五章 曲线积分与曲面积分435

15.1 对弧长的曲线积分435

15.2 对坐标的曲线积分439

15.3 格林公式及其应用444

15.4 对面积的曲面积分453

15.5 对坐标的曲面积分456

15.6 高斯公式和斯托克斯公式463

15.7 场论初步471

单元自测题476

第四篇 无穷级数与常微分方程479

第十六章 无穷级数479

16.1 常数项级数的概念与性质479

16.2 正项级数及其审敛法484

16.3 任意项级数及其审敛法491

16.4 函数项级数与幂级数495

16.5 函数展开成幂级数504

16.6 幂级数的应用511

16.7 函数项级数的一致收敛性514

16.8 傅里叶级数522

单元自测题535

第十七章 常微分方程537

17.1 微分方程的基本概念537

17.2 一阶微分方程541

17.3 可降阶的高阶微分方程552

17.4 高阶线性微分方程556

17.5 常系数线性微分方程562

17.6 常系数线性微分方程组572

17.7 微分方程的幂级数解法575

单元自测题578

第五篇 数值分析与数学建模初步579

第十八章 数学分析中的数值方法579

18.1 误差与数的近似表示579

18.2 方程的近似解580

18.3 定积分的近似计算583

18.4 常微分方程的近似积分法586

18.5 最小二乘法589

第十九章 数学建模592

19.1 数学模型概念592

19.2 人口增长的数学模型593

19.3 传染病传播的数学模型595

19.4 市场平衡问题597

附录600

积分表600

习题答案608

参考文献649