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第一章 流形，微分流形与微分形式1

1.1 流形，流形的拓扑结构1

1.2 微分流形，流形的微分结构7

1.3 切空间与切向量场16

1.4 余切空间与余切向量场22

1.5 多线性代数与高阶长量场26

1.6 微分形式与Cartan外代数31

1.7 外微分36

1.8 流形的定向，流形上积分与Stokes公式40

习题一45

第二章 积分子流形与Lie导数47

2.1 流形映射与其诱导的流形上张量场映射47

2.2 子流形，积分流形与Frodenius定理49

2.3 微分方程的可积条件与Frobenius定理的第二种形式54

2.4 局域单参数Lie变换群与Lie导数Lx59

2.5 辛流形与分析力学66

2.6 切触流形与切触变换(正则变换)70

习题二72

第三章 仿射联络与曲率张量，协变微分74

3.1 仿射联络与协变微分74

3.2 曲率2形式Ω与曲率张量R79

3.3 测地线方程，切丛联络的挠率张量82

3.4 协变外微分算子D86

3.5 联络的和乐群、G流形与可平行化流形90

习题三91

4.1 度规张量场，Hodge运算与余微分算子92

第四章 Riemann流形92

4.2 Riemann联络与Riemann曲率张量104

4.3 Killing矢量、最大对称空间与Riemann曲率108

4.4 标架场与自旋联络112

4.5 Riemann曲率张量的计算与Cartan活动标架法119

4.6 活动标架法，三维欧氏空间中曲线与曲面125

4.7 伪球面与B？cklund变换133

习题四138

5.1 同伦映射与具有相同伦型的流形140

第五章 流形的同伦群与同调群140

5.2 流形的同伦群142

5.3 相对同伦群与恰当同伦序列147

5.4 整同调群Hk(M，Z)151

5.5 一般同调群Hk(M，G)与普适系数定理157

5.6 对偶同态与对偶链群，上同调论162

5.7 de Rham上同调论165

5.8 谐和形式 Harmk(M,R)170

5.9 同伦群与同调群间关系.n维球Sn与Eilenderg-Maclane空间172

习题五175

第六章 Lie群流形与流形对称性分析，对称空间176

6.1 Lie群流形及其上不变向量场，Lie代数176

6.2 Lie变换群与齐性空间180

6.3 轨道空间与齐性空间的同伦群分析183

6.4 对称空间188

习题六191

7.1 复流形的复结构与近复流形192

第七章 复流形192

7.2 保近复结构的协变导数与Lie导数，近复结构可积条件的若干等价形式199

7.3 近Hermite流形与Hermite流形204

7.4 K？hler流形211

7.5 Hermite联络与K？hler联络214

7.6 Calabi-Yau流形217

7.7 非线性σ-model, 孤子解及其几何意义220

习题七236

8.1 一般向量丛E(M，F，π，G)238

第八章 纤维丛的拓扑结构238

8.2 向量丛的伴主丛，标架丛L(E)244

8.3 主丛P(M，G，π)与伴矢丛E(M，F，π，G，P)246

8.4 等价丛与丛的约化，切标架丛的约化与具G结构的流形248

8.5 纤维丛整体是否平庸的判断251

8.6 流形M上向量丛集合与K理论253

8.7 纤维丛的分类与普适丛ξ(G)254

习题八259

9.1 主丛上联络与曲率260

第九章 纤维丛上联络与曲率260

9.2 伴丛上联络，物质场与规范场的相互作用267

9.3 一般向量丛上的联络(线性联络)271

9.4 向量丛与切丛的直积丛的联络与曲率，切丛联络的挠率问题275

9.5 对偶矢从，Riemann联络与曲率277

习题九279

第十章 纤维丛的示性类280

10.1 纤维丛示性类的一般性质，Weil同态280

10.2 复矢丛与陈示性类284

10.3 实矢丛与Pontrjagin类289

10.4 实定向偶维矢丛与Euler类294

10.5 Stiefel-Whitney类，四种示性类特性比较296

10.6 次级示性类(陈-Simons形式)299

习题十304

第十一章 杨-Mills理论的拓扑分析305

11.1 杨-Mills场的作用量与运动方程305

11.2 规范对称性与守恒的Noether流308

11.3 边界条件与场的拓扑性质，瞬子解312

11.4 最子规范理论的拓扑效应与θ参数320

11.5 三维时空规范理论与拓扑质量项324

习题十一327

第十二章 Atiyah-Singer指数定理328

12.1 引言.Euler数及其有关定理328

12.2 椭圆微分算子的解析指数与A-S指数定理332

12.3 椭圆复形与A-S指数定理.例：de Rham复形与Gauss-Bonnet定理337

12.4 其它经典椭圆复形与相应指数定理340

12.5 扭曲椭圆复形与相应指数定理344

12.6 A-S 指数定理在物理中应用举例345

12.7 A-S 指数定理证明的简单介绍348

12.8 利用超对称场论模型证明A-S指数定理353

习题十二358

第十三章 族指标定理、联络空间与轨道空间上同调论359

13.1 引言.量子场论中反常的拓扑分析359

13.2 单态反常与A-S指数定理361

13.3 联络空间同调论与上同调论，推广的陈-Simons形式系列365

13.4 规范群的各级拓扑障碍与？ech-de Rham双复形371

13.5 族指标定理381

13.6 轨道空间上同调及其提升，规范群上同调论385

13.7 自洽反常的拓扑分析与WZW有效作用量391

13.8 规范群各级拓扑障碍相应的量子反常效应397

13.9 联络丛上的联络(Berry相)402

习题十三406

第十四章 带边流形与开无限流形的指数定理.APS-η不变量与分数荷问题407

14.1 引言407

14.2 带边流形上de Rham复形的指数定理409

14.3 带边流形APS指数定理的一般形式411

14.4 自旋复形的APS指数定理，非局域边界条件414

14.5 开无限流形上的指数定理419

14.6 APS-η不变量在物理中应用与分数Fermi荷问题，424

14.7 非局域与局域边界条件的再讨论，分数Fermi荷与重正化问题432

14.8 单参数族Dirac算子与谱流，APS-η不变量与诱导Fermi荷的计算438

习题十四442

A 集合论中若干概念简单介绍443

附录443

B. 拓扑学中若干概念简单介绍445

C. 若干常用代数体系简单介绍453

D. Abel群的若干基本性质458

E. 代数体系的同态与同构，张量代数460

F. 群的同态恰当系列465

G. 推广的Kronecker delta符号468

H. n维球Sn的坐标，测度，联络与曲率470

I. SU(2)群流形(Ss)Riemann几何分析474

J. S2(CP(1))流形与Hopf映射475

K. 对称迹的定义与性质479

L. 推广的陈-Simons形式(Q系列)480

M. 规范群上闭链密度(Ω系列)与规范化数上闭链密度(ω系列)486

N. 轴矢反常方程与迹等式492

O. APS-η函数与推广的Biemann-ζ函数494

一般参考书目498

参考文献498