《微分方程中的变分方法》

第一部分古典变分理论与线性微分方程边值问题1

第一章 变分问题与 Poisson 方程边值问题1

1.1 变分问题的例子1

1.2 定义与记号3

1.3 Poisson 方程边值问题与变分问题4

第二章 Banach 空间与 Hilbert 空间9

2.1 Banach 空间9

2.2 算子与泛函16

2.3 Hilbert 空间21

2.4 Riesz 表示定理28

2.5 Fredholm 定理31

2.6 Sobolev 空间 W?2(Ω)34

第三章 泛函极小问题与线性微分方程39

3.1 正算子与二次泛函极小问题39

3.2 自然边界条件45

3.3 二阶自共轭椭圆方程边值问题52

3.4 二次泛函变分问题的可解性55

3.5 二阶自共轭椭圆方程的特征值问题63

3.6 里斯(Riesz F)方法71

3.7 迦辽金(Гагеркнн Ъ.Г)方法84

3.8 二阶线性椭圆方程的 Dirichlet 问题94

第四章 有限元素法97

4.1 一维有限元素法97

4.2 二维有限元素法101

4.3 关于元素的剖分109

4.4 近似解的收敛性112

4.5 关于初一边值问题117

第二部分近代变分理论与非线性椭圆方程边值问题121

第五章 Sobolev 空间121

5.1 几个常用不等式121

5.2 平均函数124

5.3 弱导数127

5.4 链法则131

5.5 Sobolev 空间136

5.6 嵌入定理139

5.7 嵌入算子的紧性152

5.8 差商154

5.9 Laplace 算子特征函数的正则性157

第六章 Banach 空间中的微分及微分方程164

6.1 泛函的 Frechet 微分与临界点164

6.2 涅梅茨基算子168

6.3 泛函的 Gateaux 微分171

6.4 抽象函数的积分与微分176

6.5 Banach 空间中的常微分方程初值问题181

第七章 临界点理论中的极小极大原理及其在拟线性椭圆方程中的应用192

7.1 伪梯度向量场192

7.2 形变定理199

7.3 极小极大原理212

7.4 山路引理及其应用215

7.5 弱解的正则性222

7.6 半线性椭圆方程的古典解235

8.1 波霍扎叶夫等式与不可解问题245

第八章 具临界指数的半线性椭圆方程245

8.2 具临界指数半线性椭圆方程零边值问题正解的存在问题247

8.3 方程-Δu=u2?-1+?零边值问题正解的存在定理261

8.4 方程-Δu=u2?-1+f(x，u)零边值问题有正解的条件270

8.5 n(≥5)维情形276

8.6 四维情形278

8.7 三维情形280

9.1 几个引理284

第九章 集中紧性原理与具临界指数的拟线性椭圆方程284

9.2 集中紧性原理293

9.3 具临界指数的拟线性椭圆方程303

附录1 测度与积分312

附录2 C(?)及L＇(Ω)中列紧性定理的证明322

附录3 弱收敛与弱紧性327

附录4 仿紧空间335

参考文献338