《数值分析基本教程》

第一章引论1

1-1 什么是数值分析1

1-2 误差来源与误差概念3

一、误差来源3

二、误差的概念与有效数字4

1-3 误差分析方法8

一、向前误差分析与向后误差分析8

二、估计误差的区间分析法8

三、舍入误差的概率分析方法9

1-4 计算机的浮点运算11

一、浮点数11

二、浮点算术运算12

1-5 条件及稳定性14

习题15

第二章解线性方程组的直接法17

2-1 基本定理和问题17

2-2 一般性的评论18

一、问题的来源及类型18

二、病态条件19

三、误差来源20

2-3 Gauss 消去法20

一、Gauss 消去法21

二、工作量的计算23

三、Gauss-Jordan 消去法24

四、列选主元消去法25

五、平衡技术27

2-4 直接三角分解法29

一、矩阵的三角分解30

二、Doolittle 方法32

三、Crout 方法38

四、解三对角方程组的追赶法39

五、平方根法41

六、改进的平方根法44

2-5 矩阵求逆法46

2-6 向量范数与矩阵范数50

一、向量范数50

二、矩阵范数54

三、谱半径60

2-7 矩阵的条件数与舍入误差的分析61

一、初始数据误差的影响及矩阵的条件数62

二、舍入误差分析65

习题68

第三章解线性方程组的迭代法76

3-1 引言76

3-2 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法76

3-3 迭代法的收敛性79

3-4 逐次超松驰迭代法85

3-5 判别定理89

3-6 收敛速度97

习题100

第四章矩阵的特征值和特征向量的计算106

4-1 基本关系106

一、基本定理106

二、特征值的定位和界107

一、求按模最大的特征值和对应的特征向量109

4-2 计算按模最大特征值的乘幂法109

二、收敛的加速112

三、反幂法113

4-3 雅可比(Jacobi)方法115

4-4 吉文斯(Givens)与豪斯赫尔德(Householder)方法119

一、Givens 方法119

二、Householder 方法120

4-5 对称三对角矩阵的特征值计算123

4-6 LR和QR算法126

习题129

第五章插值法131

5-1 Lagrange 插值131

一、插值的基本概念131

三、Lagrange 插值多项式132

二、插值多项式的存在唯一性132

四、插值余项134

5-2 差商与 Newton 插值137

5-3 差分与等距节点的插值140

一、等距节点 Lagrange 插值140

二、差分及其插值公式141

三、有限差分插值公式的应用147

5-4 Aitken 逐步插值148

5-5 反插值150

5-6 Hermite 插值156

5-7 插值多项式的收敛性与数值计算的稳定性156

5-8 分段插值159

5-9 样条函数与样条插值163

一、引言163

二、基本概念164

三、三弯矩插值法166

四、三转角插值法168

五、例171

5-10 样条插值函数的重要性质172

一、泛函172

二、样条插值函数的极小性173

三、样条插值函数的余项估计式及其收敛性174

习题177

第六章函数的——致逼近及平方逼近183

6-1 逼近的有关概念及 Weierstrass 定理183

一、问题的提出183

二、逼近与范数184

三、Weierstrass 定理186

一、最佳一致逼近多项式的存在性188

6-2 最佳一致逼近多项式188

二、切比雪夫定理190

三、最佳一次逼近多项式194

6-3 切比雪夫多项式195

一、切比雪夫多项式的定义及简单性质195

二、切比雪夫多项式的极性198

6-4 幂级数的节约200

6-5 最佳一致逼近多项式的近似求法201

6-6 最佳平方逼近203

一、预备知识203

二、函数的最佳平方逼近206

三、以正交函数系作最佳平方逼近209

6-7 正交多项式及其性质210

一、定义及其性质210

二、(勒让得)Legendre 多项式213

三、用 Legendre 多项式作最佳平方逼近215

四、两类常见的正交多项式216

6-8 函数按切比雪夫多项式展开216

习题217

第七章最小二乘法与快速富里埃变换220

7-1 曲线拟合与最小二乘原理220

一、问题的提出220

二、最小二乘法220

7-2 多项式最小二乘逼近224

一、多项式最小二乘逼近224

二、方程求解存在的问题228

三、多项式次数的选择229

7-3 正交多项式逼近230

7-4 产生最小二乘逼近的一个例子234

7-5 三角函数插值与离散富里埃变换(DFT)235

7-6 快速富里埃变换(FFT)237

习题243

第八章非线性方程的解法245

8-1 问题的提出245

8-2 迭代法的一般概念247

一、收敛性247

二、收敛速度248

三、计算效率248

8-3 单点迭代法249

一、简单迭代法249

二、简单迭代法的收敛阶253

三、单点迭代法的构造254

四、Newton 迭代法255

一、多点迭代法的构造259

8-4 多点迭代法259

二、割线法262

8-5 重根上的迭代法268

8-6 加速收敛的 Aitken δ2 手续270

8-7 误差检验271

8-8 非线性方程组273

习题279

第九章数值积分与数值微分285

9-1 数值积分的一般问题285

一、问题的提出285

二、数值积分的基本思想285

三、代数精度与插值型求积公式286

一、Newton-Cotes 公式288

9-2 等距节点的 Newton-Cotes 公式288

二、Newton-Cotes 公式的余项291

三、复化的 Newton-Cotes 公式294

9-3 Romberg 积分法297

一、Richardson 外推法297

二、Romberg 积分法299

9-4 Gauss 求积公式301

一、Gauss 求积公式及其性质301

二、Gauss-Legendre 求积公式305

9-5 一般的 Gauss 型求积公式308

一、带权函数的 Gauss 型求积公式308

二、Christoffel-Darboux 恒等式310

9-6 无穷区间上的 Gauss 型求积公式312

一、Gauss-Jacobi 求积315

9-7 特殊的 Gauss 型求积公式315

二、Gauss-Chebyshev 求积316

三、奇异积分317

9-8 复化的 Gauss 型求积公式321

9-9 振荡函数的求积公式324

9-10 自适应积分325

9-11 数据的数值积分330

9-12 数据的数值微分331

9-13 函数的数值微分336

习题339

第十章常微分方程初值问题的数值解法343

10-1 数值解法的一般问题343

一、问题的提出343

二、数值解法344

10-2 Euler 方法345

一、Euler 法的推导345

二、收敛性347

三、稳定性349

四、改进的 Euler 方法及其它350

10-3 线性多步法的一般形式和阶352

一、线性多步法的一般形式352

二、线性多步法的阶353

10-4 线性多步法导出的其它途径355

一、利用数值积分构造线性多步法356

二、利用数值微分构造线性多步法360

10-5 线性多步法的误差361

一、局部截断误差361

二、整体截断误差362

三、舍入误差和积累误差363

四、局部截断误差界364

10-6 线性多步法的收敛性368

一、常系数线性差分方程368

二、收敛性的必要条件371

三、收敛性的充要条件373

10-7 线性多步法的稳定性374

一、差分方程解的性态374

二、积累误差的性态376

三、稳定性定义378

四、积累误差的界与估计380

10-8 预测校正法381

一、迭代的收敛性382

二、预测与校正382

三、局部截断误差估计385

四、Hamming 方法386

五、Adams—Bashforth-Moulton 预测校正法387

10-9 起动计算与改变步长388

一、起动计算388

二、改变步长389

10-10 Runge-Kutta390

一、Runge-Kutta 法的导出390

二、局部截断误差的实用估计394

三、Runge-Kutta 法的稳定性395

四、R-K法和预测校正法的比较396

10-11 高阶方程和方程组397

10-12 刚性方程400

习题405

参考文献411